Παλιό " κρασί"

#1

: Παλιό κρασί.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Δίδεται κύκλος κέντρου

και μια διάμετρός του

. Στο ένα ημικύκλιο θεωρούμε τα σταθερά σημεία C,D

.

Να προσδιοριστεί σημείο

στο άλλο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν οι SC,SD

τμήσουν την ευθεία

στα

αντίστοιχα, να είναι OL = 2OK

.

KARKAR · #2

: ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

,

το μέσο της OD'

και $\theta$ η γωνία $\hat{CD'B}$ .

Σχεδιάζω γωνία $\hat{CMQ}=90^0-\theta$ , η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο

του

στο

. Ο κύκλος (Q,QC)

τέμνει τη διάμετρο στο σημείο

.

Η

τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο

. Το

είναι πλέον

η τομή της

με τη διάμετρο . Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση !

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 12:02 pm
Παλιό κρασί.png

Δίδεται κύκλος κέντρου και μια διάμετρός του . Στο ένα ημικύκλιο θεωρούμε τα σταθερά σημεία .

Να προσδιοριστεί σημείο στο άλλο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν οι τμήσουν την ευθεία στα αντίστοιχα, να είναι .

Στην ουσία η ίδια κατασκευή. Γράφω απλώς την ανάλυση.

: Παλιό κρασί.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

Ανάλυση: Έστω

το ζητούμενο σημείο. Επειδή τα σημεία C, D

είναι σταθερά, η γωνία $C\widehat SD=\theta$ έχει σταθερό μέτρο.

Προεκτείνω την

κατά τμήμα $OM=\dfrac{R}{2}.$ Είναι $\displaystyle \frac{{DO}}{{OM}} = \frac{{OL}}{{OK}} = 2 \Leftrightarrow MK||DS \Leftrightarrow M\widehat KS = \theta$ και

$\boxed{\omega = {180^0} - \theta }$ , δηλαδή σταθερή. Το σημείο

λοιπόν ορίζεται ως η τομή δύο γεωμετρικών τόπων. Της διαμέτρου

και του τόξου σταθερής χορδής

που δέχεται γωνία $\omega.$ Στη συνέχεια η κατασκευή είναι απλή.

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ: Η ίδια κατασκευή γίνεται και στην περίπτωση που $\displaystyle \frac{{OL}}{{OK}} = \lambda,$ αρκεί να θεωρήσουμε το σημείο

έτσι ώστε

$\displaystyle \frac{{OD}}{{OM}} = \lambda$ (με τη σχετική διερεύνηση)

KARKAR · #4

: Κρασί.png (23.73 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Εν γνώσει του Νίκου παραθέτω και την εξής απλούστερη εκδοχή της κατασκευής :

Αν

το αντιδιαμετρικό του

και

το μέσο της OD'

, τότε

η τομή του κύκλου (C,M,D')

με τη διάμετρο , δίνει το σημείο

.

Πράγματι είναι $\hat{MKS}=\theta$ ( εξωτερική εγγεγραμμένου ) , οπότε $KM\parallel BS$ ,

συνεπώς : $\dfrac{OK}{OL}=\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{1}{2}$

Παλιό " κρασί"

Παλιό " κρασί"

Re: Παλιό " κρασί"

Re: Παλιό " κρασί"

Re: Παλιό " κρασί"

Μέλη σε σύνδεση