Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 20, 2018 2:20 pm

Ελαχιστοποίηση  εμβαδού  12.png
Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Από σημείο S μιας ευθείας που εφάπτεται σε κύκλο (O,r) σε σημείο του A ,

φέρουμε και το ( άλλο) εφαπτόμενο τμήμα SP . Η PO τέμνει την προέκταση

της SA στο T . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PTS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 20, 2018 7:42 pm

Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png
Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png (26.82 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

Θέτω AS = x\,,\,AT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,(PTS) = E και είναι :

E = r(x + \dfrac{y}{2})\,\,\,(1) και από την ομοιότητα \vartriangle PTS \approx \vartriangle ATO ,

\dfrac{{OA}}{{PS}} = \dfrac{{AT}}{{TP}} \Rightarrow \dfrac{r}{x} = \dfrac{y}{{r + \sqrt {{r^2} + {y^2}} }} \Rightarrow y = \dfrac{{2x{r^2}}}{{{x^2} - {r^2}}}\,\,(2)

Προφανές ότι αν x = r δεν υπάρχει τρίγωνο PTS και έτσι η (1) δίδει :

\boxed{E = E(x) = \frac{{r{x^3}}}{{{x^2} - {r^2}}}} που παρουσιάζει ελάχιστο αν x = r\sqrt 3 \,\,\, το

\boxed{E(r\sqrt 3 ) = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{2}}.


Θα είναι τότε : x=y και η γωνία στο T , 30°


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5237
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Απρ 21, 2018 5:54 pm

Με λίγη επιπλέον γνώση.
Εστω S' το συμμετρικό του S ως προς P. Τότε αρκεί το τρίγωνο TSS' να είναι το ελάχιστο.
Από γνωστή όμως βασική πρόταση αυτό επιτυγχάνεται όταν αυτό γίνει ισόπλευρο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες