Μεγιστοποίηση εμβαδού 25

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση εμβαδού 25

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 23, 2018 8:52 pm

Μεγιστοποίηση  εμβαδού  12.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού 12.png (12.67 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές
Σχεδιάσαμε τους ομόκεντρους κύκλους (O,r) και (O,2r) και ένα ορθογώνιο τρίγωνο

\displaystyle ABC (\hat{A}=90^0) , με τις κορυφές A,B στον μικρό κύκλο και την C στον μεγάλο .

Επιλέξτε το ABC με το μέγιστο εμβαδόν και βρείτετο λόγο \dfrac{AB}{AC} σ'αυτήν την περίπτωση .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6651
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 25

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 24, 2018 1:05 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 8:52 pm
Μεγιστοποίηση εμβαδού 12.pngΣχεδιάσαμε τους ομόκεντρους κύκλους (O,r) και (O,2r) και ένα ορθογώνιο τρίγωνο

\displaystyle ABC (\hat{A}=90^0) , με τις κορυφές A,B στον μικρό κύκλο και την C στον μεγάλο .

Επιλέξτε το ABC με το μέγιστο εμβαδόν και βρείτετο λόγο \dfrac{AB}{AC} σ'αυτήν την περίπτωση .
Max area 25.png
Max area 25.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές
\displaystyle (ABC) = (ABE) + (EBC) = 2\left[ {(AOE) + (COE)} \right] = 2(AOC) = 2\frac{{r \cdot 2r}}{2}\sin (AOC) \le 2{r^2}

Άρα \boxed{ {(ABC)_{\max }} = 2{r^2}}, όταν \displaystyle \sin (AOC) = 1, δηλαδή, \boxed{A\widehat OC=90^0}

\displaystyle A{C^2} = A{O^2} + O{C^2} = 5{r^2},A{B^2} = 4{r^2} - A{E^2},CE \cdot CA = C{O^2} - O{A^2} = 3{r^2}

Από αυτές τις σχέσεις παίρνω, \displaystyle CE = \frac{{3r\sqrt 5 }}{5},AE=\frac{{2r\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow A{B^2} = \frac{{16{r^2}}}{5}, οπότε \boxed{\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης