Ομοιότητα 7

KARKAR · #1

: Ομοιότητα 7.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Από το μέσο

της πλευράς

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ διέρχεται ευθεία , η οποία

τέμνει την

στο

και τον περίκυκλο στα Q,S

. Ο κύκλος που διέρχεται

από το μέσο

της

και τα

, (ξανα) τέμνει την

στο σημείο

.

Δείξτε , ότι τα τρίγωνα PBT, NMC

είναι όμοια .

#2

: Ομοιότητα_7_ok.png (23.35 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Προφανώς

. Θα δείξω ότι και PT//AC

.

Έστω

το σημείο τομής των ευθειών $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,QS\,$ . Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα την $\overline {EPN}$ έχω :

$\dfrac{{AP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BE}}{{EC}} \cdot \dfrac{{CN}}{{NA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{BP}}{{PA}}\,\,\,(1)$ . Για να δείξω όμως ότι PT//AC

αρκεί να

δείξω ότι: $\dfrac{{BP}}{{PA}} = \dfrac{{BT}}{{TC}}\,\,(2)$ οπότε αρκεί λόγω της (1)

να δείξω ότι $\boxed{\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{TB}}{{TC}}}\,\,(3)$

Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι η τετράδα $(E,T\backslash B,C)$ είναι αρμονική.

Από τη δύναμη του

ως προς τους δύο κύκλου έχω : $\left\{ \begin{gathered} EQ \cdot ES = EB \cdot EC \hfill \\ EQ \cdot ES = ET \cdot EM \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα

$EB \cdot EC = ET \cdot EM \Leftrightarrow (EM - \dfrac{a}{2})(EM + \dfrac{a}{2}) = ET \cdot EM \Leftrightarrow E{M^2} - EM \cdot ET = \dfrac{{{a^2}}}{4}$

Που γράφεται ισοδύναμα : $\boxed{EM \cdot TM = M{B^2} = M{C^2}}$ και μας εξασφαλίζει ότι

η τετράδα $(E,T\backslash B,C)$ είναι αρμονική.

Μετά προκύπτουν και άλλα εκπληκτικά συμπεράσματα.

Ομοιότητα 7

Ομοιότητα 7

Re: Ομοιότητα 7

Μέλη σε σύνδεση