Η Γεωμετρία των σταθερών 1

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6964
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η Γεωμετρία των σταθερών 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 08, 2018 6:13 pm

[attachment=0]Η Γεωμετρία των σταθερών.1.png[/attachment]
Το σημείο M κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB. Αν ο έγκυκλος του τριγώνου MAB εφάπτεται

της διαμέτρου στο D, να δείξετε ότι η μεσοκάθετη του MD διέρχεται από σταθερό σημείο.
Συνημμένα
Η Γεωμετρία των σταθερών.1.png
Η Γεωμετρία των σταθερών.1.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1905
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 09, 2018 1:06 pm

Στο σχήμα του Γιώργου.

Εστω O το κέντρο του κύκλου. C το μέσον του ημικυκλίου. K το μέσον του CO.

Θα δείξουμε ότι το K είναι το σταθερό σημείο.

Εύκολα υπολογίζουμε OD=\dfrac{MB-MA}{2}

Από Πυθαγόρειο παίρνουμε

DK^{2}=\dfrac{R^{2}+(MB-MA)^{2}}{4}(1)

Από Πτολεμαίο στο AMCB παίρνουμε

MC=\dfrac{MB-MA}{\sqrt{2}}

Από θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο MOC

παίρνουμε μετά από πράξεις

MK^{2}=\dfrac{R^{2}+(MB-MA)^{2}}{4}(2)

Από (1),(2) είναι MK=KD

που δείχνει ότι η μεσοκάθετη του MD διέρχεται από το K.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μάιος 12, 2018 1:08 am

Καλημέρα ! Μετά την αποκαλυπτική λύση του Σταύρου τα πράγματα γίνονται πιο εύκολα για μια παραλλαγή:
Γεωμετρία σταθερών.PNG
Γεωμετρία σταθερών.PNG (10.08 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Αρκεί να δείξουμε ότι MK=KD . Ο Ν.Σ στο τρίγωνο MOK δίνει MK^{2}=R^{2}+R^{2}/4 -R^{2}\sigma \upsilon \nu \omega .

Έστω \tau η ημιπερίμετρος του MAB. Είναι AD=\tau -MB \Rightarrow OD=AB/2-\left ( \tau -MB \right )=..=\dfrac{MB-MA}{2}

οπότε OD^{2}=\dfrac{MA^{2}+MB^{2}}{4}-\dfrac{MA\cdot MB}{2}=R^{2}-\dfrac{MA\cdot MB}{2}. Το Π.Θ στο τρίγωνο KOD δίνει

KD^{2}=OK^{2}+OD^{2}=R^{2}/4+R^{2} -\dfrac{MB\cdot MA}{2}. Αρκεί συνεπώς να δείξουμε \dfrac{MB  \cdot MA}{2}=R^{2}\sigma \upsilon \nu \omega .

Πράγματι αν MH \perp AB τότε MA\cdot MB/2=\left ( MAB \right )=AB\cdot MH/2=AB\cdot OM\sigma \upsilon \nu \omega /2=R^{2}\sigma \upsilon \nu \omega ..
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6964
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 13, 2018 11:31 am

Ευχαριστώ το Σταύρο και το Γιώργο για τις λύσεις τους. Να προσθέσω απλώς, ότι υπάρχει και αντιμετώπιση με Αναλυτική Γεωμετρία, αλλά δεν είναι τόσο κομψή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης