Μέγιστο υποτρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11209
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο υποτρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 12, 2018 11:21 am

Μέγιστο  υποτρίγωνο.png
Μέγιστο υποτρίγωνο.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , οι πλευρές b ,c , (b>c) έχουν σταθερά μήκη , ενώ η a μεταβλητό .

Φέρουμε τη διάμεσο AM και τη διχοτόμο AD .Υπολογίστε το μέγιστο του (ADM) .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο υποτρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 12, 2018 1:39 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 12, 2018 11:21 am
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , οι πλευρές b ,c , (b>c) έχουν σταθερά μήκη , ενώ η a μεταβλητό .

Φέρουμε τη διάμεσο AM και τη διχοτόμο AD .Υπολογίστε το μέγιστο του (ADM) .
Από το Θεώρημα των διχοτόμων είναι BD=ac/(b+c). Άρα

(ADM)=(ABC) - (ABD)-(AMC) = (ABC) - \frac {c}{b+c}(ABC)-\frac {1}{2}(ABC) =  \frac {b-c}{2(b+c)}(ABC).

Πρόκειται για σταθερό πολλαπλάσιο του (ABC), οπότε θέλουμε το μέγιστο του τελευταίου: Το κοιτάμε με βάση την AB=c= σταθερό. Είναι φανερό ότι γίνεται μέγιστο αν το σταθερό AC=b (οπότε το C βρίσκεται σε κύκλο κέντρου A και ακτίνας AC=b) γίνει κάθετο στο AB (μέγιστο ύψος). Τότε (ABC)_{max} = \frac {1}{2}bc, και άρα (ADM)_{max} = \frac {(b-c)bc}{4(b+c)}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο υποτρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 12, 2018 5:26 pm

Λίγο διαφορετικά (αλλά στην ουσία το ίδιο).

\displaystyle (ADM) = \frac{1}{2}DM \cdot h = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}}} \right).\frac{{bc\sin A}}{a} = \frac{{bc(b - c)}}{{4(b + c)}}\sin A \le \frac{{bc(b - c)}}{{4(b + c)}} για \widehat A=90^0.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο υποτρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 13, 2018 8:38 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 12, 2018 11:21 am
Μέγιστο υποτρίγωνο.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , οι πλευρές b ,c , (b>c) έχουν σταθερά μήκη , ενώ η a μεταβλητό .

Φέρουμε τη διάμεσο AM και τη διχοτόμο AD .Υπολογίστε το μέγιστο του (ADM) .
Έστω (O,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC και AH = y το ύψος του .

Είναι bc = 2Ry \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{bc}}{{2R}}} .

από Θ. διχοτόμου DM = BM - BD = \dfrac{a}{2} - \dfrac{{ac}}{{b + c}} \Rightarrow \boxed{DM = a\frac{{b - c}}{{2(b + c)}}} . Άρα

\boxed{(ADM) = \frac{a}{{2R}} \cdot \frac{{bc(b - c)}}{{4(b + c)}}}\,\,(1). Μεγιστοποιείται όταν η ποσότητα \dfrac{a}{{2R}} γίνει μέγιστη .
Μέγιστο υποτρίγωνο.png
Μέγιστο υποτρίγωνο.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές
Από το ορθογώνιο τρίγωνο MOC έχω MC \leqslant OC \Leftrightarrow a \leqslant 2R \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{{2R}} \leqslant 1}

με το ίσον να ισχύει εφ’ όσον a = 2R δηλαδή η BCδιάμετρος ή A = 90^\circ .

Τότε η (1) δίδει :

{(ADM)_{\max }} = \boxed{(ADM) = \frac{{bc(b - c)}}{{4(b + c)}}}\, .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης