S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
To παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Dragoljub Milosevic από το Gornji Milanovac από τη Σερβία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να σας το προτείνω...
Έστω τρίγωνο και έστω οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του.
Αποδείξτε ότι
όπου η ημιπερίμετρος του .
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να σας το προτείνω...
Έστω τρίγωνο και έστω οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του.
Αποδείξτε ότι
όπου η ημιπερίμετρος του .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
Γεια σου Τηλέμαχε!ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 17, 2018 8:37 amTo παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Dragoljub Milosevic από το Gornji Milanovac από τη Σερβία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να σας το προτείνω...
Έστω τρίγωνο και έστω οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του.
Αποδείξτε ότι
όπου η ημιπερίμετρος του .
και κυκλικά απ' όπου
Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
Χρησιμοποιώ την κλασική αντικατάσταση που δίνει
κ.τ.λ.
Επίσης είναι κ.τ.λ. [Για την πρώτη ισότητα κάντε ένα σχήμα. Το είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, με κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων.]
Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι
Από ομοιογένεια, μπορώ να υποθέσω ότι . Θέτοντας αρκεί να δείξω την
Από ΑΜ-ΓΜ είναι και , άρα .
Η συνάρτηση είναι κυρτή αφού και
Άρα από Jensen έχω
κ.τ.λ.
Επίσης είναι κ.τ.λ. [Για την πρώτη ισότητα κάντε ένα σχήμα. Το είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, με κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων.]
Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι
Από ομοιογένεια, μπορώ να υποθέσω ότι . Θέτοντας αρκεί να δείξω την
Από ΑΜ-ΓΜ είναι και , άρα .
Η συνάρτηση είναι κυρτή αφού και
Άρα από Jensen έχω
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
Απόδειξη της ανισότητας που χρησιμοποίησα πιο πάνω.
● Έστω
Είναι,
Αλλά, απ' όπου με αντικατάσταση στα κι επειδή προκύπτει το ζητούμενο.
● Αλλιώς, η συνάρτηση είναι κοίλη στο και από Jensen:
● Έστω
Είναι,
Αλλά, απ' όπου με αντικατάσταση στα κι επειδή προκύπτει το ζητούμενο.
● Αλλιώς, η συνάρτηση είναι κοίλη στο και από Jensen:
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018
Nα ευχαριστήσω θερμά τους Γιώργο Βισβίκη και Δημήτρη Χριστοφίδη για τις λύσεις τους.
Μόλις είδα το θέμα , το έλυσα όπως ακριβώς ο Γιώργος.
Οι ισότητες ,
είναι πολύτιμες και χρήσιμες...
Μόλις είδα το θέμα , το έλυσα όπως ακριβώς ο Γιώργος.
Οι ισότητες ,
είναι πολύτιμες και χρήσιμες...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες