S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 844
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μάιος 17, 2018 8:37 am

To παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Dragoljub Milosevic από το Gornji Milanovac από τη Σερβία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να σας το προτείνω...

Έστω τρίγωνο ABC και έστω r_{a},r_{b},r_{c} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του.

Αποδείξτε ότι

\displaystyle r_{a}cos\frac{A}{2}+r_{b}cos\frac{B}{2}+r_{c}cos\frac{C}{2}\leq \frac{3}{2}s

όπου s η ημιπερίμετρος του ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 17, 2018 1:04 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 17, 2018 8:37 am
To παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Dragoljub Milosevic από το Gornji Milanovac από τη Σερβία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να σας το προτείνω...

Έστω τρίγωνο ABC και έστω r_{a},r_{b},r_{c} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του.

Αποδείξτε ότι

\displaystyle r_{a}cos\frac{A}{2}+r_{b}cos\frac{B}{2}+r_{c}cos\frac{C}{2}\leq \frac{3}{2}s

όπου s η ημιπερίμετρος του ABC.
Γεια σου Τηλέμαχε!
S 443.png
S 443.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές
\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{{{r_a}}}{s} και κυκλικά \displaystyle \tan \frac{B}{2} = \frac{{{r_b}}}{s},\tan \frac{C}{2} = \frac{{{r_c}}}{s}, απ' όπου

\displaystyle {r_a}\cos \frac{A}{2} + {r_b}\cos \frac{B}{2} + {r_c}\cos \frac{C}{2} = s\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right) \le \frac{{3s}}{2}

Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7755
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 17, 2018 1:58 pm

Χρησιμοποιώ την κλασική αντικατάσταση a = y+z, b = z+x, c = x+y που δίνει

\displaystyle r_a^2 = \frac{E^2}{(s-a)^2} = \frac{s(s-b)(s-c)}{(s-a)} = \frac{(x+y+z)yz}{x} κ.τ.λ.

Επίσης είναι \displaystyle  \cos^2(A/2) = \frac{x^2}{x^2 + r^2} = \frac{x^2}{x^2 + E^2/s^2} = \frac{x^2}{x^2 + \frac{xyz}{x+y+z}} = \frac{x(x+y+z)}{x^2 + xy + yz + zx} κ.τ.λ. [Για την πρώτη ισότητα κάντε ένα σχήμα. Το r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, με κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων.]

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι \displaystyle  \sum \sqrt{\frac{yz}{x^2+xy+yz+zx}} \leqslant \frac{3}{2}

Από ομοιογένεια, μπορώ να υποθέσω ότι x+y+z=1. Θέτοντας a = x/yz, b = y/zx, c = z/xy αρκεί να δείξω την

\displaystyle  \sum \sqrt{\frac{1}{1+a}} \leqslant \frac{3}{2}

Από ΑΜ-ΓΜ είναι \displaystyle a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}} και 1 = x+y+z \geqslant 3\sqrt[3]{xyz}, άρα a+b+c\geqslant 9.

Η συνάρτηση f(a) = (1+a)^{-1/2} είναι κυρτή αφού \displaystyle f'(a) = -\frac{(1+a)^{-3/2}}{2} και \displaystyle f''(a) = \frac{3(1+a)^{-5/2}}{4}

Άρα από Jensen έχω

\displaystyle \sum \sqrt{\frac{1}{1+a}} \leqslant 3\sqrt{\frac{1}{1+\sum \frac{a}{3}}} \leqslant 3\sqrt{\frac{1}{1+3}} = \frac{3}{2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 17, 2018 6:22 pm

Απόδειξη της ανισότητας \boxed{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \le \frac{3}{2}} που χρησιμοποίησα πιο πάνω.

● Έστω \displaystyle x = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2},y = \frac{\pi }{2} - \frac{B}{2},z = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}

Είναι, \displaystyle x + y + z = \pi  \Rightarrow \cos x + \cos y + \cos z = 1 + 4\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2}\sin \frac{z}{2}

Αλλά, \displaystyle \sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2}\sin \frac{z}{2} \le \frac{1}{8}, απ' όπου με αντικατάσταση στα x,y,z κι επειδή \displaystyle \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \sin \theta, προκύπτει το ζητούμενο.

● Αλλιώς, η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \sin \frac{x}{2} είναι κοίλη στο \displaystyle \left( {0,{\pi }} \right) και από Jensen:

\displaystyle \frac{1}{3}\left( {f(A) + f(B) + f(C)} \right) \le f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \le 3\sin \frac{{A + B + C}}{6} = \frac{3}{2}


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 844
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S 443 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS τεύχος 2 του 2018

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μάιος 17, 2018 6:33 pm

Nα ευχαριστήσω θερμά τους Γιώργο Βισβίκη και Δημήτρη Χριστοφίδη για τις λύσεις τους.

Μόλις είδα το θέμα , το έλυσα όπως ακριβώς ο Γιώργος.
Οι ισότητες \displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{{{r_a}}}{s} , \displaystyle \tan \frac{B}{2} = \frac{{{r_b}}}{s},\tan \frac{C}{2} = \frac{{{r_c}}}{s}
είναι πολύτιμες και χρήσιμες...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης