Μικρότερες ακέραιες τιμές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5910
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μικρότερες ακέραιες τιμές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 12, 2018 9:19 pm

Μικρότερες ακέραιες τιμές.png
Μικρότερες ακέραιες τιμές.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Σε τρίγωνο ABC είναι b > c . Φέρνω τη διχοτόμο AD και έστω Mτο μέσο της.

Ας είναι δε O το περίκεντρό του .

Αν \widehat {DBM} = 45^\circ και η AO διχοτομεί τη γωνία \widehat {DAC} δείξετε ότι τα b,c δύνανται να

πάρουν ακέραιες τιμές και βρείτε τις πιο μικρές τιμές τους .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7078
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικρότερες ακέραιες τιμές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 13, 2018 3:20 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 9:19 pm
Μικρότερες ακέραιες τιμές.png


Σε τρίγωνο ABC είναι b > c . Φέρνω τη διχοτόμο AD και έστω Mτο μέσο της.

Ας είναι δε O το περίκεντρό του .

Αν \widehat {DBM} = 45^\circ και η AO διχοτομεί τη γωνία \widehat {DAC} δείξετε ότι τα b,c δύνανται να

πάρουν ακέραιες τιμές και βρείτε τις πιο μικρές τιμές τους .
Min integers.png
Min integers.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Είναι b=5, c=3 και a=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7078
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικρότερες ακέραιες τιμές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 14, 2018 8:40 am

Η AD τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο E. Έστω AP το ύψος του τριγώνου και H, N οι προβολές των M, O πάνω στη

BC. Από τις διχοτόμους και την παραλληλία AP||OE εύκολα διαπιστώνουμε ότι AD=AB=c (AP ύψος και διχοτόμος) και

AE=AQC=b. Είναι ακόμα MH=BH=\dfrac{3BD}{4} και \displaystyle A\widehat EC = \widehat B = A\widehat DB = C\widehat DE \Leftrightarrow \boxed{CE = DC = \frac{{ab}}{{b + c}}}
Min integers.ΙΙ.png
Min integers.ΙΙ.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
\displaystyle \frac{{NE}}{{DN}} = \frac{{MH}}{{HD}} = 3 \Leftrightarrow NE = 3\left( {\frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{NE = \frac{{3a(b - c)}}{{2(b + c)}}} και από Π. Θ στο NEC:

\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}{{(b - c)}^2}}}{{4{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} - 8\frac{b}{c} + 5 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b > c} \boxed{\frac{b}{c} = \frac{5}{3}} Άρα οι b,c μπορούν

να πάρουν ακέραιες τιμές b=5k,c=3k, όπου k θετικός ακέραιος. Οι πιο μικρές τιμές τους είναι \boxed{b=5, c=3}


Παρατήρηση: Για b=5, c=3, με Stewart στο τρίγωνο BEC (τέμνουσα ED) βρίσκουμε ότι \displaystyle a = \frac{{8\sqrt {10} }}{5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης