Νέο μέγιστο

KARKAR · #1

: Νέο μέγιστο.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

, ακτίνας

.

Η διαγώνιος

διέρχεται από το σημείο S(-2,0)

, ενώ η γωνία $\widehat{A}$ είναι ορθή .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 18, 2018 12:34 pm
Νέο μέγιστο.pngΤο τετράπλευρο του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο , ακτίνας .x
Η διαγώνιος διέρχεται από το σημείο , ενώ η γωνία $\widehat{A}$ είναι ορθή .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

: Νέο μέγιστο.png (14.6 KiB) Προβλήθηκε 1155 φορές

.
Έστω

η γωνία των διαγωνίων AC,BD

. Τότε, $(ABCD)=\frac{AC \cdot BD \cdot sinx}{2}$ .

Οι AC,BD

χορδές του κύκλου (O,4)

, άρα $AC,BD\leq 8$ .

Επομένως το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι

και επιτυγχάνεται όταν AC=BD=8

και

.

(Αυτό συμβαίνει όταν οι διαγώνιες είναι πάνω στους άξονες)

#3

Καλησπέρα σε όλους.

Ισχύει η γνωστή πρόταση:
Από όλα τα εγγεγραμμένα ν-γωνα σε έναν κύκλο μέγιστο εμβαδόν έχει το κανονικό.

Οπότε το τετράγωνο με διαγώνιες πάνω στους άξονες πληροί τα δεδομένα του προβλήματος κι έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με

τ.μ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 18, 2018 5:37 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Ισχύει η γνωστή πρόταση:
Από όλα τα εγγεγραμμένα ν-γωνα σε έναν κύκλο μέγιστο εμβαδόν έχει το κανονικό.

Οπότε το τετράγωνο με διαγώνιες πάνω στους άξονες πληροί τα δεδομένα του προβλήματος κι έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με τ.μ.

Γεια σου Γιώργο.

Ισχύει η γνωστή πρόταση:
Από όλα τα εγγεγραμμένα ν-γωνα σε έναν κύκλο μέγιστο εμβαδόν έχει το κανονικό.

Υπάρχει στοιχειώδης απόδειξη για αυτό;
Και αν ναι πού είναι;

#5

Καλησπέρα Σταύρο.

Απόδειξη υπάρχει σίγουρα σε εργασίες που ασχολούνται με το ισοπεριμετρικό πρόβλημα. Θυμάμαι ότι υπάρχει ως Λήμμα στο "Stories about maxima and minima" του V. Tikhomirov.

Δίνω μια προσέγγιση από μνήμης με κάθε επιφύλαξη. (Oύτε διεκδικώ την πατρότητα, ούτε εγγυώμαι για την πληρότητα και την ορθότητα της απόδειξης). Ας τεθεί στην κρίση των ειδικών.

: 18-06-2018 Ισοπεριμετρικό πρόβλημα.jpg (31.54 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Παίρνω ένα τυχαίο ν-γωνο ABCD…N

εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Υπάρχει σημείο $\displaystyle B'$ στο τόξο $\displaystyle \mathop {AC}\limits^ \cap$ , ώστε $\displaystyle AB' = B'C$ . Τότε $\displaystyle \left( {AB'C} \right) \ge \left( {ABC} \right)$ , με το ίσον να ισχύει όταν το

ταυτίζεται με το $\displaystyle B'$ .

Πράγματι, αφού τα δύο τρίγωνα έχουν την ίδια βάση

και $\displaystyle d\left( {B',\;AC} \right) \ge d\left( {B,\;AC} \right)$ (1) θα είναι $\displaystyle \left( {AB'C} \right) \ge \left( {ABC} \right)$ . Η απόδειξη της (1) είναι απλή.

Άρα $\displaystyle \left( {AB'CD...N} \right) \ge \left( {ABCD...N} \right)$ .

Κατόπιν, έστω $\displaystyle C'$ σημείο στο τόξο $\displaystyle \mathop {B'D}\limits^ \cap$ , ώστε $\displaystyle B'C' = C'D$ . Τότε $\displaystyle \left( {B'C'D} \right) \ge \left( {B'CD} \right)$ , με το ίσον να ισχύει όταν το

ταυτίζεται με το $\displaystyle C'$ .

Άρα $\displaystyle \left( {AB'C'D...N} \right) \ge \left( {AB'CD...N} \right) \ge \left( {ABCD...N} \right)$ .

Συνεχίζοντας διαδοχικά, συμπεραίνουμε ότι το κανονικό ν-γωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδό από κάθε άλλο μη κανονικό εγγεγραμμένο ν-γωνο στον κύκλο.

edit: Το βρήκα και στη σελίδα 64 του βιβλίου Geometric Problems on Maxima and Minima των Titu Andreescu, Oleg Mushakarov, Luchezar Stoyanov και ένα παραπλήσιο πρόβλημα σε ένα παλαιότερο βιβλίο: Την "Ανάλυση Γεωμετρική" του John Leslie, σε μετάφραση Ι. Καρανδηνού, τυπωμένη στην Κέρκυρα το 1829 (!)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Γιώργο καλημέρα.
Γνώριζα ότι υπάρχει απόδειξη αλλά δεν ήξερα καμία.
Τα παραπάνω τα σκέφθηκα.
Συγκεκριμένα είναι γεωμετρικά φανερό (όπως αναλυτικά έδειξες και εσύ)
ότι από τα τρίγωνα με σταθερή βάση που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κύκλο
μέγιστο εμβαδό έχει το ισοσκελές.
Αν λοιπόν έχουμε ν-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μέγιστο εμβαδό
τότε αναγκαστικά αυτό θα είναι το κανονικό.
Το πρόβλημα μου ήταν να αποδείξω ότι υπάρχει ν-γωνο με μέγιστο εμβαδό.
Αυτό μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Μου φάνηκε πολύ βαρύ.
Γιαυτό σε ρώτησα.

KARKAR · #7

Πρόθεση του θεματοδότη ήταν να ζητήσει την εύρεση του μεγίστου , στην περίπτωση

που $AB\parallel xx' , AD \parallel yy'$ , οπότε το θέμα καθίσταται αρκετά δυσκολότερο ...

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 6:52 am
Πρόθεση του θεματοδότη ήταν να ζητήσει την εύρεση του μεγίστου , στην περίπτωση

που $AB\parallel xx' , AD \parallel yy'$ , οπότε το θέμα καθίσταται αρκετά δυσκολότερο ...

Είχα διαισθανθεί ότι ζητούσες κάτι τέτοιο, (αλλιώς δεν είχε νόημα η

να διέρχεται από το σημείο S(-2,0)

), γι αυτό και την έλυσα από χτες. Είναι μία λύση απλή σε σκέψη, αλλά πολύπλοκη και χρονοβόρα σε πράξεις και το τελικό αποτέλεσμα, απαιτεί λογισμικό (τουλάχιστον για μένα). Θα την περιγράψω και θα δώσω τον τελικό τύπο του εμβαδού και την απάντηση.

: max.KARKAR.png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Αν $\displaystyle A\left( {a,\sqrt {16 - {a^2}} } \right),$ εύκολα εντοπίζουμε τις άλλες κορυφές και το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle E(a) = \frac{{2({a^2} + 9a + 8)\sqrt {16 - {a^2}} }}{{a + 5}}$ και για $\boxed{a\simeq 2,47103}$ παίρνει μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{E_{\max }} \simeq 30,6044}$

Λάμπρος Κατσάπας · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 18, 2018 7:43 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 18, 2018 5:37 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Ισχύει η γνωστή πρόταση:
Από όλα τα εγγεγραμμένα ν-γωνα σε έναν κύκλο μέγιστο εμβαδόν έχει το κανονικό.

Οπότε το τετράγωνο με διαγώνιες πάνω στους άξονες πληροί τα δεδομένα του προβλήματος κι έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με τ.μ.
Γεια σου Γιώργο.

Ισχύει η γνωστή πρόταση:
Από όλα τα εγγεγραμμένα ν-γωνα σε έναν κύκλο μέγιστο εμβαδόν έχει το κανονικό.

Υπάρχει στοιχειώδης απόδειξη για αυτό;
Και αν ναι πού είναι;

Ας δούμε και την παρακάτω.

Έστω κυρτό n-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Συμβολίζουμε με x_i,i=1,2,...,n

τις κεντρικές γωνίες. Αν φέρουμε τις ακτίνες του κύκλου

στις κορυφές του n-γώνου τότε το εμβαδόν κάθε σχηματιζόμενου τριγώνου θα είναι $\displaystyle{\frac{1}{2}\rho ^2 \sin x_i}$ όπου $\rho$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Το εμβαδόν του n-γώνου θα είναι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων, δηλαδή $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\rho ^2 \sin x_i =\frac{1}{2}\rho ^2\sum_{i=1}^{n} \sin x_i .$

Κάθε κεντρική γωνία, σε οποιοδήποτε n-γωνο, δεν μπορεί να ξεπεράσει τα $\pi rad$ . Επίσης η $\sin x$ είναι κοίλη

στο $(0,\pi ]$ . Από την Jensen τώρα παίρνουμε $\sum_{i=1}^{n} \sin x_i \leq n \sin\left ( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right )=n \sin\frac{2\pi }{n}$

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν $x_1=x_2=...=x_n=\frac{2\pi }{n}$ δηλαδή όταν το n-γωνο είναι κανονικό.

Το μέγιστο εμβαδόν θα είναι τότε $\frac{n}{2}\rho ^2 \sin \frac{2\pi }{n} .$

#10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 12:38 am
Γιώργο καλημέρα.
Γνώριζα ότι υπάρχει απόδειξη αλλά δεν ήξερα καμία.
Τα παραπάνω τα σκέφθηκα.
Συγκεκριμένα είναι γεωμετρικά φανερό (όπως αναλυτικά έδειξες και εσύ)
ότι από τα τρίγωνα με σταθερή βάση που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κύκλο
μέγιστο εμβαδό έχει το ισοσκελές.
Αν λοιπόν έχουμε ν-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μέγιστο εμβαδό
τότε αναγκαστικά αυτό θα είναι το κανονικό.

Καλημέρα Σταύρο. Το έχω πει πολλές φορές και το ξαναλέω ότι το

έχει τη μοναδικότητα να μη δίνει "μασημένη τροφή", π.χ. έτοιμα πακέτα ασκήσεων για κάθε χρήση, αλλά να γεννά αφορμές για αναζητήσεις και έρευνα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 12:38 am

Το πρόβλημα μου ήταν να αποδείξω ότι υπάρχει ν-γωνο με μέγιστο εμβαδό.
Αυτό μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Μου φάνηκε πολύ βαρύ.
Γιαυτό σε ρώτησα.

Πράγματι, διαβάζοντας την αγγλική έκδοση του βιβλίου του Tikhomirov, βλέπουμε ότι διαπραγματεύεται ακριβώς αυτόν τον προβληματισμό, αναφερόμενος σε ν-γωνα σταθερής περιμέτρου, και καταλήγει με αρκετά εύληπτο τρόπο στη διατύπωση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.

Το συγκεκριμένο στιγμιότυπο που παρουσίασα παραπάνω, αναφέρεται σε ν-γωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο κι όχι σε ισοπεριμετρικά, οπότε νομίζω ότι η απόδειξη δεν έχει πρόβλημα. Προφανώς υπάρχει ν-γωνο εγγεγραμμένο σε δοσμένο κύκλο, για κάθε τιμή του ν μεγαλύτερη του

.

Βλέποντας απ' την άλλη την διαφορετική απόδειξη της Αρτέμιδος Καμούδη ΕΔΩ, μού δημιουργούνται αμφιβολίες για την πληρότητα της παραπάνω προσέγγισης.

Θα αναζητήσω σχετικά στοιχεία και στις εργασίες για το ισοπεριμετρικό πρόβλημα των Μ. Λάμπρου- Μ. Κατσοπρινάκη στον Ευκλείδη Γ΄και του Π. Πάμφιλλου στον Θεαίτητο του Μανώλη Μαραγκάκη.

edit: Η εργασία των Μ. Λάμπρου- Μ. Κατσοπρινάκη είναι ΕΔΩ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 1:09 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 12:38 am
Γιώργο καλημέρα.
Γνώριζα ότι υπάρχει απόδειξη αλλά δεν ήξερα καμία.
Τα παραπάνω τα σκέφθηκα.
Συγκεκριμένα είναι γεωμετρικά φανερό (όπως αναλυτικά έδειξες και εσύ)
ότι από τα τρίγωνα με σταθερή βάση που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κύκλο
μέγιστο εμβαδό έχει το ισοσκελές.
Αν λοιπόν έχουμε ν-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μέγιστο εμβαδό
τότε αναγκαστικά αυτό θα είναι το κανονικό.
Καλημέρα Σταύρο. Το έχω πει πολλές φορές και το ξαναλέω ότι το έχει τη μοναδικότητα να μη δίνει "μασημένη τροφή", π.χ. έτοιμα πακέτα ασκήσεων για κάθε χρήση, αλλά να γεννά αφορμές για αναζητήσεις και έρευνα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 12:38 am

Το πρόβλημα μου ήταν να αποδείξω ότι υπάρχει ν-γωνο με μέγιστο εμβαδό.
Αυτό μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Μου φάνηκε πολύ βαρύ.
Γιαυτό σε ρώτησα.
Πράγματι, διαβάζοντας την αγγλική έκδοση του βιβλίου του Tikhomirov, βλέπουμε ότι διαπραγματεύεται ακριβώς αυτόν τον προβληματισμό, αναφερόμενος σε ν-γωνα σταθερής περιμέτρου, και καταλήγει με αρκετά εύληπτο τρόπο στη διατύπωση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.

Το συγκεκριμένο στιγμιότυπο που παρουσίασα παραπάνω, αναφέρεται σε ν-γωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο κι όχι σε ισοπεριμετρικά, οπότε νομίζω ότι η απόδειξη δεν έχει πρόβλημα. Προφανώς υπάρχει ν-γωνο εγγεγραμμένο σε δοσμένο κύκλο, για κάθε τιμή του ν μεγαλύτερη του .

Βλέποντας απ' την άλλη την διαφορετική απόδειξη της Αρτέμιδος Καμούδη ΕΔΩ, μού δημιουργούνται αμφιβολίες για την πληρότητα της παραπάνω προσέγγισης.

Θα αναζητήσω σχετικά στοιχεία και στις εργασίες για το ισοπεριμετρικό πρόβλημα των Μ. Λάμπρου- Μ. Κατσοπρινάκη στον Ευκλείδη Γ΄και του Π. Πάμφιλλου στον Θεαίτητο του Μανώλη Μαραγκάκη.

edit: Η εργασία των Μ. Λάμπρου- Μ. Κατσοπρινάκη είναι ΕΔΩ.

Γιώργο καλησπέρα

Εγραψες
''Το συγκεκριμένο στιγμιότυπο που παρουσίασα παραπάνω, αναφέρεται σε ν-γωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο κι όχι
σε ισοπεριμετρικά, οπότε νομίζω ότι η απόδειξη δεν έχει πρόβλημα. Προφανώς υπάρχει ν-γωνο εγγεγραμμένο
σε δοσμένο κύκλο, για κάθε τιμή του ν μεγαλύτερη του

.''

Εχει πρόβλημα .Το πρόβλημα είναι ότι η διαδικασία γίνεται άπειρες φορές .Πρέπει λοιπόν να αποδειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει
στο κανονικό ν-γωνο.

Το ίδιο πρόβλημα υπάρχει και στην απόδειξη της Αρτέμιδος Καμούδη .

Για να πεισθεί κάποιος αρκεί να κάνει την διαδικασία σε ένα τρίγωνο.

Δεν είναι τυχαίο ότι και Tikhomirov παραλείπει την απόδειξη ότι υπάρχει ν-γωνο
με μέγιστο εμβαδό.
Η εκτίμηση μου είναι ότι δεν παίζει ρόλο αν το θεωρήσουμε εγγεγραμμένο η με σταθερή περίμετρο.

Συμπλήρωμα.Τα παραπάνω που είναι κόκκινα είναι λαθεμένα.

#12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 7:07 pm

Εχει πρόβλημα .Το πρόβλημα είναι ότι η διαδικασία γίνεται άπειρες φορές .Πρέπει λοιπόν να αποδειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει
στο κανονικό ν-γωνο.

Το ίδιο πρόβλημα υπάρχει και στην απόδειξη της Αρτέμιδος Καμούδη .

Για να πεισθεί κάποιος αρκεί να κάνει την διαδικασία σε ένα τρίγωνο.

Δεν είναι τυχαίο ότι και Tikhomirov παραλείπει την απόδειξη ότι υπάρχει ν-γωνο
με μέγιστο εμβαδό.
Η εκτίμηση μου είναι ότι δεν παίζει ρόλο αν το θεωρήσουμε εγγεγραμμένο η με σταθερή περίμετρο.

Σταύρο καλησπέρα. Δίχως να επιμένω γιατί το θέμα κάθε άλλο παρά προφανές είναι, θέλω να παρατηρήσω ότι αναφέρομαι σε ν-γωνο, άρα η διαδικασία δεν επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, αλλά ν μείον μία.

Δεν αναφερόμουν στην περίπτωση όπου το ν τείνει στο άπειρο. Προφανώς τότε χρειαζόμαστε την αντιμετώπιση που αναφέρει ο Σταύρος.

Όντως στη σελίδα 15 ο Tikhomirov δίνει δίχως απόδειξη το λήμμα 3 που αναφέρει υπάρχει ν-γωνο με μέγιστο εμβαδό (εννοεί μεταξύ των ισοπεριμετρικών ν-γώνων).

: 18-06-2018 Ισοπεριμετρικό πρόβλημα 3.jpg (132.01 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Al.Koutsouridis · #13

Για να συμμετάσχω βιβλιογραφικά στην όμορφη συζήτηση για τα ισοποπεριμετρικά προβλήματα και την ύπαρξη λύσης.

Ο Tikhomirov δεν δίνει απόδειξη για το Λήμμα 3: "υπάρχει μέγιστο ν-γωνο" γιατί παραπέμπει στο βιλίο του Wilhelm Blaschke, "Κύκλος και Σφαίρα". Το βιβλίο αυτό, που είναι γραμμένο στα γερμανικά, έχει μεταφραστεί στα ρώσικα οπότε είναι προσβάσιμο στον αναγνώστη.

Στο Κύκλος και σφαίρα στην παράγραφο

δίνεται η απόδειξη της ύπαρξης του μέγιστου ν-γώνου με την οριακή διαδικασία που περιγράφει ο κ.Σταύρος παραπάνω. Που είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος μέγιστης ελάχιστης τιμής του Weierstrass όπως χαρακτηριστικά αναφέρει ο συγραφέας στο τέλος της απόδειξης.

Στην αμέσος επόμενη παράγραφο δίνεται μία πιο στοιχειώδης λύση με τον "τριγωνομετρικό" τρόπο, που εν μέρη, χρησιμοποιήσε ο κ.Κατσάπας παραπάνω. Στην πιο γενική του μορφή για το ισοπεριμετρικό πρόβλημα στα πολύγωνα.

#14

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 6:52 am
Πρόθεση του θεματοδότη ήταν να ζητήσει την εύρεση του μεγίστου , στην περίπτωση

που $AB\parallel xx' , AD \parallel yy'$ , οπότε το θέμα καθίσταται αρκετά δυσκολότερο ...

: Νέο μέγιστο_προσεγγιστικά.png (42 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Είχα χθες " ανεβάσει" μια λάθος λύση θεωρώντας ότι και στην περίπτωση που οι AD,AB

είναι παράλληλες στους άξονες , πάλι οι κάθετες διαγώνιοι

μας δίδουν μέγιστο γινόμενο. Δεν ισχύει όμως αυτό και ευχαριστώ τον Nikkru

για την υπόδειξη .

#15

Καλησπέρα σε όλους.

Ο Σταύρος έχει δίκιο για το ότι η διαδικασία που περιέγραψα παραπάνω οδηγεί σε ατέρμονα κύκλο.

Εδώ αναδεικνύεται ένα γενικότερο θέμα σχετικά με την μέθοδο της "προς στιγμήν σταθεράς" που χρησιμοποιούν (πρώτοι ; ) οι Ιησουΐτες στη Γεωμετρία τους.

Εφαρμόζοντας τη μέθοδο στο θεώρημα 355, σελ. 177 στην έκδοση του 1896 (Exercices de géométrie, F.G.M. 1896) διατυπώνουν απόδειξη στο θεώρημα με τη μέθοδο που σχολιάσαμε παραπάνω.

: 18-06-2018 Ισοπεριμετρικό πρόβλημα 4.jpg (54.65 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Επιχειρώ μια μετάφραση του κειμένου:

Από τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε δοθείσα περιφέρεια, κι έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών, το κανονικό έχει τη μέγιστη επιφάνεια.

Αν δύο διαδοχικές πλευρές

και

του πολυγώνου δεν ήταν ίσες, θα μπορούσαμε να αυξήσουμε την επιφάνεια του τριγώνου που ορίζουν αυτές οι δύο πλευρές και η διαγώνιος

λαμβάνοντας ως κορυφή το μέσο του τόξου

. Είναι, επομένως, ίσες οι δύο διαδοχικές χορδές του μεγίστου πολυγώνου, οπότε αυτό είναι το κανονικό.

Ουσιαστικά λένε ότι αν έχουμε ένα πολύγωνο ABCD...ST

με όλες τις πλευρές ίσες εκτός από δύο διαδοχικές AB, BC

, τότε αντικαθιστώντας το

με το μέσο

του τόξου

, πετυχαίνουμε μεγαλύτερο εμβαδό από το αρχικό. Και υπονοούν ότι αν το αρχικό δεν είχε τις υπόλοιπες πλευρές ίσες, τότε εφαρμόζοντας την ίδια τακτική διαδοχικά σε όλα τα τόξα πετυχαίνουμε το μέγιστο. Τότε όμως, μετακινώντας διαδοχικά τα C, D, ...

όταν φτάσουμε στο τελευταίο τόξο, θα πρέπει να μετακινήσουμε το

και ξεκινάμε από την αρχή...

Προσκαλώ όποιον έχει ασχοληθεί (ή θέλει να ασχοληθεί με το θέμα) να συμμετέχει στη συζήτηση, που πιστεύω ότι έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Για να μην μείνει στο κενό η αρχική μου τοποθέτηση, δίνω μια άλλη λύση στο αρχικό πρόβλημα για εγγεγραμμένο τετράπλευρο, ουσιαστικά εφαρμόζοντας τη μέθοδο του Λάμπρου Κατσάπα για n=4

.

: 20-06-2018 Γεωμετρία.png (40.22 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} = {\widehat {\rm O}_1},\;\;\widehat {B{\rm O}C} = {\widehat {\rm O}_1},\;\;\widehat {C{\rm O}D} = {\widehat {\rm O}_1},\;\;\widehat {D{\rm O}A} = {\widehat {\rm O}_4},\;\;{\widehat {\rm O}_\nu } \in \left( {0^\circ ,\;360^\circ } \right),\;\;\nu = 1,2,3,4$ .

Είναι $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\eta \mu {{\rm O}_1} + \eta \mu {{\rm O}_2} + \eta \mu {{\rm O}_3} + \eta \mu {{\rm O}_4}} \right)$

Είναι $\displaystyle \eta \mu {{\rm O}_\nu } \le 1,\;\;\nu = 1,\;2,\;3,\;4$ με το ίσον μόνον όταν $\displaystyle {\widehat {\rm O}_\nu } = 90^\circ ,\;\;\nu = 1,2,3,4$ , δηλαδή όταν το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Τότε $\displaystyle {\left( {ABCD} \right)_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{2} \cdot 4 = 2{r^2}$ .

Νέο μέγιστο

Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Re: Νέο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση