Μέγιστο γινόμενο 9

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9983
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο 9

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
Σε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τετ Ιουν 20, 2018 1:12 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...
\displaystyle max SA\cdot SB=\frac{\ell ^2 \cdot r}{2r+ \sqrt{4r^2-\ell ^2}}

Αύριο η πλήρης αιτιολόγηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2000
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 20, 2018 1:41 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...
Αν θέσουμε \phi =\angle ASB

τότε (ABS)=\frac{1}{2}SA.SB.\sin \phi

Αλλά το \sin \phi είναι σταθερό.

Ετσι το SA.SB γίνεται μέγιστο όταν το (ABS) γίνει μέγιστο.

Είναι σχεδόν προφανές ότι αυτό επιτυγχάνεται όταν S είναι το μέσο του μεγάλου τόξου AB

Τότε είναι SA.SB=SA^{2}=l^{2}+(r+\sqrt{r^{2}-l^{2}})^{2}=2r^{2}+2r\sqrt{r^{2}-l^{2}}

Δεν γνωρίζω αν αυτή είναι η άλλη λύση.Θα το μάθουμε αύριο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 20, 2018 8:39 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...
Μέγιστο γινόμενο 9.png
Μέγιστο γινόμενο 9.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
\displaystyle SA \cdot SB = 2r \cdot SM και μεγιστοποιείται όταν γίνει μέγιστο το ύψος SM, δηλαδή όταν διέρχεται από το κέντρο

O του κύκλου και το S βρίσκεται στο μείζον τόξο AB. Άρα: \boxed{{(SA \cdot SB)_{\max }} = 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right)}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 20, 2018 10:55 am

Καλημέρα σε όλους. Τα "καλά" εργαλεία έχουν χρησιμοποιηθεί. Θα πορευτούμε με ότι απέμεινε και μάλιστα χωρίς να πειράξουμε το σχήμα του Θανάση....

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

Νόμος Συνημιτόνων στο ABS

 \displaystyle A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi  \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} = 4{l^2} + 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi

Είναι  \displaystyle S{A^2} + S{B^2} \ge 2SA \cdot SB \Leftrightarrow 4{l^2} + 2SA \cdot SB\sigma \upsilon \nu \varphi  \ge 2SA \cdot SB

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2{l^2}}}{{1 - \sigma \upsilon \nu \varphi }} \ge SA \cdot SB με το ίσον όταν SA = SB.

Τώρα, για να φέρουμε την απάντηση στη μορφή των ήδη δοσμένων λύσεων:

Νόμος Hμιτόνων στο ABS

 \displaystyle \frac{{AB}}{{\eta \mu \varphi }} = 2r \Leftrightarrow \eta \mu \varphi  = \frac{l}{r}

Eίναι  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{l}{r} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\varphi  = \frac{{{l^2}}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \sqrt {\frac{{{r^2} - {l^2}}}{{{r^2}}}}  \Leftrightarrow 1 - \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{r - \sqrt {{r^2} - {l^2}} }}{r} , με  \displaystyle 0^\circ  < \varphi  < 90^\circ .

Οπότε  \displaystyle \frac{{2r{l^2}}}{{r - \sqrt {{r^2} - {l^2}} }} \ge SA \cdot SB \Leftrightarrow 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right) \ge SA \cdot SB .


nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τετ Ιουν 20, 2018 11:22 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...
Η λύση που είχα ήταν ίδια με του Σταύρου με το S στο κυρτό τόξο AB. Θα δώσω μία με λίγη τριγωνομετρία.
Μέγιστο γινόμενο 9.png
Μέγιστο γινόμενο 9.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Είναι (ABS)=\frac{SA \cdot SB \cdot sin\omega }{2}= \frac{AB \cdot CH}{2}\Rightarrow SA \cdot SB=\frac{AB \cdot h}{sin\omega }.

Η γωνία \omega είναι παραπληρωματική της \theta (από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ACBS) άρα σταθερή.

Φέρνοντας την εφαπτομένη στο μέσο M του τόξου AB είναι προφανές ότι το h μεγιστοποιείται όταν το S είναι μέσο του τόξου AB.

Αφού SA=SB=2r \cdot sin \frac{\theta}{2} είναι SA \cdot SB=4r^2 \left (  sin\frac{\theta}{2}\right )^2 και cos \theta=\frac{\sqrt{r^2 - \ell ^2}}{r}.

Αν το S ανήκει στο κυρτογώνιο τόξο AB είναι \omega +\theta =180^o διαφορετικά είναι \omega =\theta.

Τελικά, SA \cdot SB=4r^2  \frac{1-cos\theta }{2}= 4r^2 \cdot \frac{ \left ( r  
\pm  \sqrt{r^2 - \ell ^2}  \right ) }{2r}=2r \left( r \pm \sqrt{r^2-\ell^2} \right)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 20, 2018 11:32 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 9:15 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο (O,r) θεωρήσαμε χορδή AB=2\ell<2r . Σημείο S κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SA\cdot SB . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...
μέγιστο γινόμενο χορδών_ με σταθερή βάση_3.png
μέγιστο γινόμενο χορδών_ με σταθερή βάση_3.png (24.18 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Στην προέκταση π. χ. της BS προς το S θεωρώ σημείο E για το οποίο SA = SE.

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου EB και τη κάθετη στο S επί την BS που τέμνει αυτό το ημικύκλιο στο D.

Έτσι θα έχω : SA \cdot SB = SE \cdot SB = S{D^2} . Όταν το S ταυτιστεί με το μέσο P του

μεγάλου τόξου χορδής AB θα προκύψει το μέγιστο SD και είναι PA = PB = SD.

Αυτό γιατί , EB \leqslant PE + PB που στην περίπτωση που τα E,P,B ανήκουν στην ίδια

ευθεία \boxed{SD \equiv PD = \frac{{EB}}{2}} . Εύκολα μετά .

\boxed{S{D^2} = P{B^2} = PT \cdot PM = 2r(PO + OM) = 2r\left( {r + \sqrt {{r^2} - {l^2}} } \right)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 21, 2018 1:44 am

Φέρνω τη διχοτόμο SD του τριγώνου SAB. Έστω ακόμα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T τα μέσα του

μεγάλου και του μικρού τόξου χορδής AB. Τέλος θεωρώ από το D παράλληλη

Που τέμνει τη SP στο E. Επειδή ,

S{D^2} = SA \cdot SB - DA \cdot DB \Leftrightarrow \boxed{SA \cdot SB = S{D^2} + DA \cdot DB} αρκεί να βρω πότε

μεγιστοποιείται το δεύτερο μέλος.
Μέγιστο γινόμενο 9_οκ.png
Μέγιστο γινόμενο 9_οκ.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Αφού DA + DB = AB = 2l σταθερό , το γινόμενο DA \cdot DB γίνεται μέγιστο αν \boxed{DA = DB}.

Επειδή όμως προφανώς SD \leqslant DE \leqslant MP , όταν ισχύει η ισότητα DA = DB το S θα

Ταυτιστεί με το P και το SD με το PM. Συνεπώς τότε θα προκύψει το μέγιστο του γινομένου SA \cdot SB


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης