Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5867
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 20, 2018 6:13 pm

Ενα ελάχιστο κι ένα μέγιστο.png
Ενα ελάχιστο κι ένα μέγιστο.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Δίδεται σταθερός κύκλος κέντρου O και σταθερό σημείο C στο εσωτερικό του .

Μεταβλητό σημείο A κινείται πάνω στον κύκλο . Στο C φέρνω κάθετη επί την AC και έστω B το ένα σημείο τομής της με τον κύκλο .


1. Να βρείτε το ελάχιστο του (ABC).

2. Αν M το μέσο της χορδής AB, Να βρείτε το μέγιστο του (MOC)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4061
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 20, 2018 7:21 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια προσπάθεια για το 1.

20-06-2018 Γεωμετρία 1.png
20-06-2018 Γεωμετρία 1.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Έστω CD το ύψος στην AB. Τότε  \displaystyle CM = \frac{{AB}}{2} και  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{CD \cdot AB}}{2} = CD \cdot CM

Είναι  \displaystyle CM \ge CD \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) \ge C{D^2} με το ελάχιστο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή όταν OC κάθετη στην AB.

edit: Συμπληρώνω και το 2.

20-06-2018 Γεωμετρία 2.png
20-06-2018 Γεωμετρία 2.png (41.34 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

To MOC έχει σταθερή βάση OC, οπότε θα έχει μέγιστο εμβαδό όταν το ύψος MK από το M στην OC γίνει μέγιστο.

Έστω N το μέσο του OC. κατασκευάζουμε τον κύκλο (N, NM). Είναι  \displaystyle MN \ge MK με το ίσον όταν OM=OC. Τότε, ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC διέρχεται από το O.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6968
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 20, 2018 8:04 pm

Να συμπληρώσω απλώς για το 1) ερώτημα ότι αν R είναι η ακτίνα του κύκλου και OC=d, τότε:

\boxed{{(ABC)_{\min }} = \frac{{{R^2} - d\sqrt {2{R^2} - {d^2}} }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης