Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Στις πλευρές

και

, ορθογωνίου ABCD

, διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ , θεωρούμε

σημεία S,P

ώστε : $\widehat{ASP}=90^0$ και σχεδιάζουμε το ορθογώνιο ASPT

.

Α) Δείξτε ότι αν το

συμπέσει με το

, ή το

με το

, είναι :

Β) Αν τα

να είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών , βρείτε σχέση μεταξύ των a,b

.

Γ) Δείξτε ότι αν ισχύει το Β) , είναι : (ASPT)<(ABCD)

.

Δ) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του (ASPT)

.

#2

Δεν είμαι βέβαιος αν κατανόησα την εκφώνηση. Γράφω κάποιες ιδέες για να συζητηθεί το θέμα.

: 26-06-2018 Γεωμετρία 1.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

A) Αν το

συμπέσει με το

τα δύο ορθογώνια ταυτίζονται.

Αν το

συμπέσει με το

, τότε $\displaystyle \left( {ASPT} \right) = 2\left( {ASD} \right) = \left( {ABCD} \right)$ (γνωστή πρόταση γεωμετρίας Α Λυκείου ή και Γυμνασίου).

Β) Έστω B(0,0), C(a, 0), D(a, b), A(0, b), 0<b<a

και

Τότε $\displaystyle {\lambda _{AS}} = - \frac{b}{t}$ άρα $\displaystyle SP:\;y = \frac{t}{b}x - \frac{{{t^2}}}{b}$ . Τέμνει την DC: x=a

στο $\displaystyle P\left( {a,\;\frac{{ta - {t^2}}}{b}} \right)$ .

Για να είναι εσωτερικό το

στο

πρέπει $\displaystyle 0< \frac{{ta - {t^2}}}{b} < b \Leftrightarrow {t^2} - at + {b^2} > 0$

Το τριώνυμο έχει Διακρίνουσα a^2-4b^2

.

Αν είναι $\displaystyle b < a < 2b$ η ανίσωση ισχύει για κάθε τιμή του t στο διάστημα (0, a)

.

Αν είναι a= 2b

, τότε το τριώνυμο έχει μια ρίζα t = b

, οπότε αν $\displaystyle t \in \left( {0,b} \right) \cup \left( {b,a} \right)$ , τότε και τα δύο σημεία είναι εσωτερικά των πλευρών

και

.

Αν είναι $\displaystyle a > 2b$ η Διακρίνουσα είναι θετική, οπότε

$\displaystyle {t^2} - at + {b^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < t < \frac{{a - \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2}\;\;\; \vee \;\;\;\frac{{a + \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2} < t < a$ .

Στα διαστήματα αυτά και τα δύο σημεία είναι εσωτερικά των πλευρών

και

.

Γ) Αν ισχύει το (Β), είναι $\displaystyle \left( {ASPT} \right) = 2\left( {ASP} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left( {ASP} \right) < \left( {ASD} \right)$ , αφού έχουν την ίδια βάση

και $\displaystyle d\left( {D,\;AS} \right) > SP$ , οπότε

$\displaystyle \left( {ASPT} \right) < \left( {ABCD} \right)$ .

Δ) Είναι $\displaystyle \overrightarrow {SA} = \left( { - t,\;b} \right),\;\;\overrightarrow {SP} = \left( {a - t,\;\frac{{ta - {t^2}}}{b}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left( {ASPT} \right) = 2\left( {ASP} \right) = \left| {\det \left( {\overrightarrow {SA} ,\;\overrightarrow {SP} } \right)} \right| = \left| {\frac{{{t^3} - {t^2}a + {b^2}t - a{b^2}}}{b}} \right|$ .

Παρατηρώ ότι όταν το

τείνει στο

, τότε το εμβαδό τείνει στο

.

Δεν βλέπω να έχει ελάχιστο το εμβαδό.

KARKAR · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 26, 2018 9:14 pm
Δεν είμαι βέβαιος αν κατανόησα την εκφώνηση. Γράφω κάποιες ιδέες για να συζητηθεί το θέμα.

: Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Γιώργο δική μου η ευθύνη , εννοώ την περίπτωση του "μικρού"

, της λύσης σου , δηλαδή

όταν : $\displaystyle 0 < t < \frac{{a - \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2}$ . Τότε ασφαλώς αφού για τις δύο οριακές θέσεις των S,P

το

γίνεται ίσο με το (ABCD)

και ενδιάμεσα γίνεται μικρότερο , θα παίρνει και μια

ελάχιστη τιμή , την οποία καλούμαστε να υπολογίσουμε . Στο σχήμα π.χ. είναι : a=9 , b=4

#4

Καλημέρα σε όλους. Για την πληρότητα του θέματος, συμπληρώνω την απάντησή μου στο διάστημα που αναφέρει ο Θανάσης.

Έστω $\displaystyle 0 < 2b \le a$ .

Παίρνουμε τη συνάρτηση $\displaystyle f\left( t \right) = {t^3} - {t^2}a + {b^2}t - a{b^2}$ , $\displaystyle t \in A = \left( {0,\;\frac{{a - \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle f'\left( t \right) = 3{t^2} - 2at + {b^2}$ , οπότε με τη βοήθεια της μελέτης του προσήμου του τριωνύμου $\displaystyle f'\left( t \right) = 0$ για $\displaystyle t \in A$ ,

προκύπτει ότι η f(t)

είναι αύξουσα στο $\displaystyle \left( {0,\;\frac{{a - \sqrt {{a^2} - 3{b^2}} }}{3}} \right)$ και φθίνουσα στο $\displaystyle \left( {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - 3{b^2}} }}{3},\;\frac{{a - \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2}} \right)$ ,

άρα έχει μέγιστο στο $\displaystyle {t_0} = \frac{{a - \sqrt {{a^2} - 3{b^2}} }}{3}$ .

Με αρκετό κόπο βρίσκουμε ότι η f(t)

είναι αρνητική στο

, οπότε το απόλυτό της έχει ελάχιστο στο t_0

.

Στο διάστημα $\displaystyle \left( {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{2},\;a} \right)$ , είδαμε ότι δεν έχει ελάχιστο.

Τέλος, αν $\displaystyle 0 < b < a < 2b$ , η διακρίνουσα της παραγώγου $\displaystyle f'\left( t \right) = 3{t^2} - 2at + {b^2}$ , είναι αρνητική, οπότε η συνάρτηση f(t)

δεν έχει ακρότατα στο ανοιχτό διάστημα που ορίζεται. Οριακά κινείται από τη μέγιστη τιμή (ABCD)

όταν

ως την ελάχιστη

όταν

.

Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση