Ισόπλευρο από ισοσκελές
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Ισόπλευρο από ισοσκελές
Εστω επίσης σημείο στην προέκταση της ώστε
Οι κύκλοι τέμνονται στο
Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ισόπλευρο από ισοσκελές
Αγνοώ προσωρινά το κύκλο . Αν το μέσο της βάσης του ισοσκελούς
τριγώνου τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με .Έτσι η από το κάθετη στη θα είναι μεσοκάθετη
στην ακτίνα .Του κύκλου: . Έστω το αντιδιαμετρικό του και το μέσο της . Αν η κόψει το κύκλο αυτό στα
προφανώς τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα. Αρκεί να δείξω ότι ο κύκλος διέρχεται από τα
ή και μόνο ένα απ’ αυτά π.χ. το .
Θέτω: .
Προφανώς δε . Από το ορθογώνιο τρίγωνο με Θεώρημα Πυθαγόρα έχω :
.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ομοίως : .
Αρκεί να δείξω ότι .
Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο και δεδομένου ότι έχω :
δηλαδή η .
Άρα ο κύκλος διέρχεται από τις κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων : .
Θα ψάξω για πιο κομψή λύση.
τριγώνου τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με .Έτσι η από το κάθετη στη θα είναι μεσοκάθετη
στην ακτίνα .Του κύκλου: . Έστω το αντιδιαμετρικό του και το μέσο της . Αν η κόψει το κύκλο αυτό στα
προφανώς τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα. Αρκεί να δείξω ότι ο κύκλος διέρχεται από τα
ή και μόνο ένα απ’ αυτά π.χ. το .
Θέτω: .
Προφανώς δε . Από το ορθογώνιο τρίγωνο με Θεώρημα Πυθαγόρα έχω :
.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ομοίως : .
Αρκεί να δείξω ότι .
Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο και δεδομένου ότι έχω :
δηλαδή η .
Άρα ο κύκλος διέρχεται από τις κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων : .
Θα ψάξω για πιο κομψή λύση.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ισόπλευρο από ισοσκελές
Καλημέρα!
απ' όπου παίρνουμε η είναι μεσοκάθετος του κι επειδή το ζητούμενο έπεται.
Re: Ισόπλευρο από ισοσκελές
Εστω ότι θα αποδειχθεί ότι
Είναι ,
Από το θεώρημα του στο τρίγωνο
Συνεπώς
και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο από ισοσκελές.png (98.15 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Ισόπλευρο από ισοσκελές
Δανείζομαι σχήμα και συμβολισμό από τον Γιάννη (StopJohn) για να δώσω ακόμα μια πιο στοιχειώδη απόδειξη με τον νόμο συνημιτόνων:
Έστω λοιπόν ότι , , .
Από τα δύο ορθογώνια , παίρνουμε
Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο με , , έχουμε
Αφού λοιπόν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μία γωνία , θα είναι ισόπλευρο.
Έστω λοιπόν ότι , , .
Από τα δύο ορθογώνια , παίρνουμε
Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο με , , έχουμε
Αφού λοιπόν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μία γωνία , θα είναι ισόπλευρο.
Ειρήνη Περυσινάκη
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες