Παραλληλία από σπόντα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Παραλληλία από σπόντα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 19, 2018 8:45 pm

Παραλληλία από σπόντα.png
Παραλληλία από σπόντα.png (28.83 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
Έστω I το έγκεντρο, \vartriangle ABC . Οι BI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CI τέμνουν το κύκλο (A,B,C) ακόμα στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Φέρνω από το Z παράλληλη στην CE που τέμνει τον πιο πάνω κύκλο στο S. Η SA τέμνει τη CE στο T και οι χορδές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SE στο D.

Δείξετε ότι TD//BC.

Δεκτή κάθε λύση . Υπάρχει λύση με ύλη Α Λυκείου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Παραλληλία από σπόντα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Ιούλ 19, 2018 10:20 pm

Με απλό κυνήγι γωνιών το S είναι το μέσο του μεγάλου τόξου BC, SE//BZ και το TEDA είναι εγγράψιμο(TAC,BIC όμοια τρίγωνα).Άρα \angle ETD=\angle EAD=\angle C/2=\angle ICB και το ζητούμενο δείχτηκε.(Τ ο πρόβλημα προέκυψε από και δίνει λύση στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 78&t=62219 .)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία από σπόντα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 19, 2018 11:19 pm

min## έγραψε:
Πέμ Ιούλ 19, 2018 10:20 pm
Με απλό κυνήγι γωνιών το S είναι το μέσο του μεγάλου τόξου BC, SE//BZ και το TEDA είναι εγγράψιμο(TAC,BIC όμοια τρίγωνα).Άρα \angle ETD=\angle EAD=\angle C/2=\angle ICB και το ζητούμενο δείχτηκε.(Τ ο πρόβλημα προέκυψε από και δίνει λύση στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 78&t=62219 .)
Ακριβώς γι αυτό την ανέβασα, έχουμε μετά λύση στους "κινέζικους λόγους"

Θα περιμένω . αν δε απαντήσει (όχι τόσο λιτά όμως ) άλλος, κάποια στιγμή θα γράψω τη λύση μου.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Παραλληλία από σπόντα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Ιούλ 19, 2018 11:56 pm

Αλλιώς με Pascal στο ASSECB είναι τα AS\cap EC,SS\cap CB,EC\cap SS συνευθειακά,δηλαδή τα T,D και το σημείο στο άπειρο (επειδή το S είναι το μέσο του μεγάλου τόξου BC).Άρα, η TD έχει ίδια διεύθυνση με την BC και την εφαπτομένη στο S
.Ελπίζω να μην πήρα τη δικιά σας :) :D ).(αν κατάλαβα καλά δεν ανησυχώ).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9329
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία από σπόντα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 20, 2018 10:08 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Ιούλ 19, 2018 8:45 pm
Παραλληλία από σπόντα.png

Έστω I το έγκεντρο, \vartriangle ABC . Οι BI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CI τέμνουν το κύκλο (A,B,C) ακόμα στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Φέρνω από το Z παράλληλη στην CE που τέμνει τον πιο πάνω κύκλο στο S. Η SA τέμνει τη CE στο T και οι χορδές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SE στο D.

Δείξετε ότι TD//BC.

Δεκτή κάθε λύση . Υπάρχει λύση με ύλη Α Λυκείου .
Παραλληλία από σπόντα.png
Παραλληλία από σπόντα.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
\displaystyle SE = ZC = AZ \Rightarrow AS||EZ \Rightarrow ET = SZ = AE = EB \Rightarrow ES||BZ

\displaystyle T\widehat ED = {180^0} - C\widehat ED = E\widehat CZ = B\widehat ED, άρα τα τρίγωνα TED, BED είναι ίσα και

\displaystyle E\widehat TD = E\widehat BD = \frac{{\widehat C}}{2} = I\widehat CB \Leftrightarrow \boxed{TD||BC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης