Ισοδυναμία 2

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοδυναμία 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm

Ισοδυναμία 2.png
Ισοδυναμία 2.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Οι ίσοι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο T . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό A του T του κύκλου (O) και από το βόρειο πόλο του N του (K) ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία S,P . Εξετάστε αν είναι : (AST)=(SPKT) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοδυναμία 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 29, 2018 7:37 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο T . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό A του T του κύκλου (O) και από το βόρειο πόλο του N του (K) ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία S,P . Εξετάστε αν είναι : (AST)=(SPKT) .
Ισοδυναμία.2.png
Ισοδυναμία.2.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
(AST)=(SPKT)=\dfrac{3R^2}{5}

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης (30/7/2018, 9:04 π.μ)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοδυναμία 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιούλ 30, 2018 12:08 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο T . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό A του T του κύκλου (O) και από το βόρειο πόλο του N του (K) ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία S,P . Εξετάστε αν είναι : (AST)=(SPKT) .

Είναι \displaystyle \frac{{\left( {AST} \right)}}{{\left( {STK} \right)}} = \frac{{AT}}{{TK}} = 2 \Rightarrow \left( {AST} \right) = 2\left( {STK} \right).

Αλλά \displaystyle \angle TPN = {135^0} \Rightarrow \angle SPT = {45^0} \Rightarrow SP = ST.

Άρα \displaystyle \vartriangle STK = \vartriangle SPK \Rightarrow \left( {STK} \right) = \left( {SPK} \right).Έτσι, \displaystyle \boxed{\left( {STKP} \right) = 2\left( {STK} \right) = \left( {AST} \right)}
ισοδυμαμία2.png
ισοδυμαμία2.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισοδυναμία 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 30, 2018 8:39 am

Αν M το μέσον της PN τότε έχουμε την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων AKN \approx AST \approx KMN. Οι υποτείνουσές τους είναι αντίστοιχα \sqrt {10}R (διότι AK=3R, KN=R), 2R και R. Άρα (AST) = \frac {4}{10} (AKN) και (MKN) = \frac {1}{10} (AKN). Έτσι

(SPKT) = (AKN) - (AST)-(PKN) =  (AKN) - (AST)-2(MKN)=

=(AKN)- \frac {4}{10} (AKN)- \frac {2}{10} (AKN)= \frac {4}{10} (AKN) =(AST)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοδυναμία 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 30, 2018 9:26 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο T . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό A του T του κύκλου (O) και από το βόρειο πόλο του N του (K) ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία S,P . Εξετάστε αν είναι : (AST)=(SPKT) .
Ισοδυναμία.2.png
Ισοδυναμία.2.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Με Π. Θ, \displaystyle AN = R\sqrt {10} . Αλλά, \displaystyle AP \cdot AN = AT \cdot AQ = 8{R^2} \Leftrightarrow AP \cdot R\sqrt {10}  = 8{R^2} \Leftrightarrow AP = \frac{{8R}}{{\sqrt {10} }}

\displaystyle (AKP) = \frac{1}{2}AP \cdot AK\sin \varphi  = \frac{{6{R^2}}}{5}, \displaystyle (AST) = \frac{1}{2}AS \cdot AT\sin \varphi  = \frac{1}{2}(2R\cos \varphi )(2R\sin \varphi ) = \frac{{3{R^2}}}{5}

και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ισοδυναμία 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 30, 2018 10:39 am

Ας έρθω και εγώ με την ημέτερη άποψη στην όμορφη αυτή παρέα.

Παρατηρούμε ότι:
\angle SKT = \angle SNT = \angle PLT \Rightarrow SK\parallel PL \Rightarrow \left( {SPK} \right) = \left( {SLK} \right) \Rightarrow \left( {STKP} \right) = \left( {STL} \right) = \left( {SAT} \right).
ισοδ.png
ισοδ.png (50.53 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης