Λόγοι συνευθειακοί

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγοι συνευθειακοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 31, 2018 6:19 pm

Λόγοι συνευθειακοί.png
Λόγοι συνευθειακοί.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
Από σημείο A εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα AS, AT και την τέμνουσα ABC

που τέμνει τη χορδή ST στο P. Να δείξετε ότι \dfrac{AP}{PC}=2\dfrac{AB}{BC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Λόγοι συνευθειακοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Ιούλ 31, 2018 10:52 pm

("Λύση"εκτός φακέλου):Προκύπτει από ιδιότητες διπλών λόγων:Αρκεί (A,C,P,B)=2.Όμως (A,P,B,C)=-1 από το αρμονικό τετράπλευρο και από γνωστη ιδιότητα(,αν (abcd)=k τότε (adbc)=(k-1)/k) έπεται το ζητούμενο..


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Λόγοι συνευθειακοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιούλ 31, 2018 11:01 pm

Με πρόλαβαν!!

Λίγο διαφορετικά:

Αρκεί AP\cdot BC=2AB\cdot PC\Leftrightarrow (AB+PB)(PC+PB)=2AB\cdot PC\Leftrightarrow \Leftrightarrow(AB+PC+PB)\cdot PB=AB\cdot PC \Leftrightarrow AC\cdot PB=AB\cdot PC\Leftrightarrow \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PC}{PB} (1).

Αφού το P ανήκει στην πολική του A έχουμε πως η δέσμη (A, P, B, C) είναι αρμονική επομένως προκύπτει η (1).


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7142
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγοι συνευθειακοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 01, 2018 6:32 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 31, 2018 6:19 pm
Λόγοι συνευθειακοί.png
Από σημείο A εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα AS, AT και την τέμνουσα ABC

που τέμνει τη χορδή ST στο P. Να δείξετε ότι \dfrac{AP}{PC}=2\dfrac{AB}{BC}.
Θέτω : AB = x,\,\,BC = y,\,\,PC = z και ζητώ να δείξω :

\dfrac{{PA}}{{PC}} = 2\dfrac{{BA}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{z} = 2\dfrac{x}{{y + z}} \Leftrightarrow 2xz = (x + y)(y + z) ή


\boxed{\frac{{x + y + z}}{x} = \frac{z}{y} \Leftrightarrow \frac{{CA}}{{BA}} = \frac{{CP}}{{BP}}}\,\,\,(1)

Εδώ επί της ουσίας έχει η άσκηση απαντηθεί όπως πολύ ωραία έγραψαν οι προηγούμενοι, λόγω αρμονικής αναλογίας.

Ας το δούμε όμως από δώ και πέρα λίγο αλλιώς.

Λόγοι συνευθειακοί.png
Λόγοι συνευθειακοί.png (30.76 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

Στο τρίγωνο CST η CP είναι συμμετροδιάμεσος και έτσι αν φέρω τη διάμεσο CM και την προεκτείνω μέχρι να τμήσει το κύκλο στο E θα έχω:

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} και άρα BE//ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} και ή (1) ισοδυναμεί :

\boxed{\,\,\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{ME}}} που αληθεύει από το θ. της διχοτόμου στο \vartriangle AEC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης