Αξιοποίηση σταθερών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Αξιοποίηση σταθερών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 03, 2018 11:43 am

Απολαυστική κατασκευή.png
Απολαυστική κατασκευή.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές

Δίδονται δύο σταθερά σημεία D\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,E και σταθερός κύκλος (O,R).

Να βρεθεί σημείο A του κύκλου τέτοιο ώστε , αν οι ευθείες DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE κόψουν ακόμα τον κύκλο στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C να είναι BC//DE.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5263
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αξιοποίηση σταθερών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Αύγ 03, 2018 1:00 pm

Αρκεί με τη γνωστή Απολλώνια κατασκευή να κατασκευάσουμε κύκλο διερχόμενο από τα D, E και εφαπτόμενο στον δοθέντα εσωτερικά στο A.
Στη συνέχεια ενώνουμε το A με τα D, E, για να βρούμε τα B, C αντίστοιχα. Το γιατί αιτιολογείται από την ύπαρξη της κοινής εφαπτομένης των κύκλων στο σημείο A σε συνδυασμό με το θεώρημα: Η εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο ισούται με την σχηματιζόμενη από την αντίστοιχη χορδή και την εφαπτομένη του κύκλου στο άκρο της χορδής αυτής.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1759
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Αξιοποίηση σταθερών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Αύγ 03, 2018 3:57 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:43 am
[attachment=1]Απολαυστική κατασκευή.png[/attachment]


Δίδονται δύο σταθερά σημεία D\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,E και σταθερός κύκλος (O,R).

Να βρεθεί σημείο A του κύκλου τέτοιο ώστε , αν οι ευθείες DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE κόψουν ακόμα τον κύκλο στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C να είναι BC//DE.
Νίκο και Σωτήρη καλησπέρα από Γρεβενά.
Παραθέτω μια απόδειξη, "απολαυστική κατασκευή", όπως την αποκαλείς στον υπότιτλο.


Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα:
Αξιοποίηση σταθερών 2.png
Αξιοποίηση σταθερών 2.png (18.52 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Έστω ότι έχουμε βρει το ζητούμενο σημείο \displaystyle{A} επί του δοθέντος κύκλου \displaystyle{(O,R)}
και το οποίο ικανοποιεί το αιτούμενο, δηλαδή να είναι:

\displaystyle{BC//DE \  \ (1) }.

Τότε η δύναμη του σημείου \displaystyle{D} ως προς τον δοθέντα κύκλο είναι σταθερή, δηλαδή:

\displaystyle{DB\cdot DA=DO^2-R^2=c_1^2=ct \  \ (2)}

Όμοια για το σημείο \displaystyle{E} θα είναι:

\displaystyle{EC \cdot EA =EO^2-R^2=c_2^2 =ct \  \ (3)}

Ακόμα από την (1) θα είναι:

\displaystyle{ \frac{DB}{EC}=\frac{DA}{EA}=m \  \ (4)}

Διαιρώντας τις (2) και (3) κατά μέλη έχουμε:

\displaystyle{\frac{DB \cdot DA}{EC \cdot EA}=\frac{c_1^2}{c_2^2} \  \ (5)}

Έτσι από τις (4) και (5) εύκολα προκύπτει:

\displaystyle{m^2=\frac{c_1^2}{c_2^2}}

δηλαδή:

\displaystyle{ m=\frac{c_1}{c_2} \  \ (6)}

Η τελευταία σχέση μας λέει ότι:

\displaystyle{\frac{AD}{AE}=\frac{c_1}{c_2}=ct \  \ (7)}

δηλαδή ότι το ζητούμενο σημείο \displaystyle{A} ανήκει στον Απολλώνιο Κύκλο \displaystyle{C_o(K,\frac{MN}{2})} που ορίζει το τμήμα
\displaystyle{DE} και ο σταθερός λόγος \displaystyle{\frac{c_1}{c_2}}.

Ύστερα από αυτά το σημείο \displaystyle{A} προκύπτει από την τομή το κύκλου \displaystyle{(O,R)} και του \displaystyle{C_o}.

Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει πάντα δύο λύσεις όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
Η αιτιολόγηση σε επόμενη ανάρτηση...
Αξιοποίηση σταθερών 3.png
Αξιοποίηση σταθερών 3.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5263
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αξιοποίηση σταθερών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Αύγ 03, 2018 4:16 pm

Μετά την άριστη παρέμβαση του Κώστα που τον ζηλεύω, επειδή ζει στα όμορφα Γρεβανά αλλά κυρίως για την μοναδική του απαράμιλλη γνώση του επί της κατασκευής μέσω των άγιων λογισμικών, θα παραθέσω την ημέτερη "χειροκίνητη" κατασκευή.

Ο κύκλος d είναι τυχόν κύκλος διερχόμενος από τα σημεία D, E και το O είναι ριζικό κέντρο των κύκλων d, p και του δεδομένου.
απολλ.png
απολλ.png (100.63 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1759
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Αξιοποίηση σταθερών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Αύγ 10, 2018 11:08 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:43 am



Δίδονται δύο σταθερά σημεία D\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,E και σταθερός κύκλος (O,R).

Να βρεθεί σημείο A του κύκλου τέτοιο ώστε , αν οι ευθείες DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE κόψουν ακόμα τον κύκλο στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C να είναι BC//DE.
KDORTSI έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 3:57 pm
Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:43 am
............................................
Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει πάντα δύο λύσεις όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
Η αιτιολόγηση σε επόμενη ανάρτηση...

Κώστας Δόρτσιος
Παραθέτω μια αιτιολόγηση χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σχήμα:
Αξιοποίηση σταθερών 6.png
Αξιοποίηση σταθερών 6.png (32.4 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές
Θεωρούμε τη συνάρτηση:

\displaystyle{f(A)=\phi, \  \ (1)}

ορισμένη στο έλασσον τόξο \displaystyle{A_1A_2} και με \displaystyle{\phi} την κυρτή και προσανατολισμένη γωνία
που ορίζει η ημιευθεία \displaystyle{DE} με την ημιευθεία \displaystyle{BC}.

Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και επιπλέον ισχύει:

\displaystyle{f(A_1)=\phi_1<0 \  \ (2)}

όπου \displaystyle{\phi_1} η γωνία της ημιευθείας \displaystyle{DE} με την ημιευθεία \displaystyle{B_1C_1}

Επίσης είναι:

\displaystyle{f(A_2)=\phi_2>0 \  \ (3)}

όπου \displaystyle{\phi_2} η γωνία της ημιευθείας \displaystyle{DE} με την ημιευθεία \displaystyle{B_2C_2}.

Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο κλειστό "έλασσον" τόξο \displaystyle{A_1A_2} και λόγω την σχέσεων (2) και (3)
από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο \displaystyle{A_o} εσωτερικό του "ελάσσονος"
τόξου \displaystyle{A_1A_2} τέτοιο ώστε:

\displaystyle{f(A_o)=0 \  \ (4)}

Η σχέση (4) δηλώνει ότι για το σημείο αυτό η \displaystyle{B_oC_o} είναι παράλληλη με την \displaystyle{DE}.

Όμοια δείχνεται ότι και στο "μείζον" τόξο \displaystyle{A_1A_2} υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο \displaystyle{A'_o} ώστε
η αντίστοιχη \displaystyle{B'_oC'_o} να είναι παράλληλη με την \displaystyle{DE}.

Αν τώρα σκεφτούμε ότι τα σημεία αυτά θα προκύψουν από την τομή του Απολλώνιου κύκλου
που αναφέρθηκε στο πρώτο μήνυμα με τον δοθέντα κύκλο \displaystyle{(O,R)}, τότε αυτά είναι ακριβώς
δύο κι είναι εκείνα που σχεδιάστηκαν στο σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης.

Σημείωση:
Τα σημεία \displaystyle{A_1,A_2} σχεδιάστηκαν στις θέσεις αυτές ώστε οι αντίστοιχες γωνίες \displaystyle{\phi}
να είναι ετερόσημες.


Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες