Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6847
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am

Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD και έστω M τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας A\widehat DC. Οι CM, AM

τέμνουν τις BA, BC ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AP=CQ.



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 75
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Αύγ 10, 2018 1:46 pm

''Λύση'' εκτός φακέλου:Έστω ότι ορίζουμε την ακολουθία σημείων Q_{i} ώστε Q_{i}C=P_{i}A.Αρκεί να αποδειχτεί ότι η τομή των AQ_{i},CP_{i} ανήκει στη διχοτόμο της D.Ελέγχουμε 3 περιπτώσεις για τα P_{i}:P_{1} η τομή της διχοτόμου και της AB,οπότε εύκολα το Q1 είναι το B και η τομή των AQ_{1},CP_{1} ανήκει στη διχοτόμο,P_{2}=D=Q2 όπου η τομή των ευθειών είναι το D και P_{3}=A οπότε και Q_{3}=C.Επειδή οι δέσμες A(Q_{i}),C(P_{i}) έχουν ίδιους διπλούς λόγους(εξ'ορισμού-τα AP_{i},CQ_{i} είναι ίσα) και επειδή έχουν κοινή ακτίνα την AC,οι τομές των υπολοίπων ακτινών είναι συνευθειακές, και η ευθεία αυτή προφανώς περνάει από τις τομές των AQ_{1},CP_{1},
P_{2}=D=Q2 και άρα είναι η διχοτόμος...


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Αύγ 10, 2018 2:48 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD και έστω M τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας A\widehat DC. Οι CM, AM

τέμνουν τις BA, BC ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AP=CQ.

Έστω \displaystyle E επί της \displaystyle AD με \displaystyle AE = AP και \displaystyle AM \cap DC = S.Επειδή \displaystyle DA = AK θα είναι και\displaystyle DE = PK

Θα αποδείξουμε ότι \displaystyle EC//AS

Ισχύει ,\displaystyle \frac{{CS}}{{AE}} = \frac{{CS}}{{AP}} = \frac{{SM}}{{MA}}(1) και \displaystyle \frac{{DC}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{PK}} = \frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{SM}}{{MA}}(2)

Από \displaystyle (1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{CS}}{{AE}} = \frac{{DC}}{{DE}}} \Rightarrow EC//AS \Rightarrow AESQ παραλ/μμο \displaystyle  \Rightarrow \boxed{AE = AP = CQ}
ίσα τμήματα.png
ίσα τμήματα.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Αύγ 11, 2018 1:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3788
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Αύγ 10, 2018 2:50 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD και έστω M τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας A\widehat DC. Οι CM, AM

τέμνουν τις BA, BC ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AP=CQ.
Με \left\{ \begin{gathered} 
  F \equiv CM \cap AD \hfill \\ 
  T \equiv DM \cap BC \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{AP\parallel DC} \dfrac{{AP}}{{DC}} = \dfrac{{FA}}{{FD}}\mathop  = \limits^{DAF\parallel TQC} \dfrac{{CQ}}{{CT}}\mathop  = \limits^{DC = CT\left( {\angle CTD = \angle ADT = \angle CDT} \right)} \dfrac{{CQ}}{{DC}} \Rightarrow AP = CQ

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 10, 2018 11:52 pm

Στο σχήμα :
ισα τμήματα στις πλευρές τριγώνου_1.png
ισα τμήματα στις πλευρές τριγώνου_1.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Προφανές ότι το τρίγωνα ADT\,\, είναι ισοσκελές με κορυφές το A.

Ισχύουν : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{m}{a} = \frac{{MP}}{{MC}} = \frac{x}{{CS}} \hfill \\ 
  \frac{q}{a} = \frac{q}{{AB}} = \frac{y}{{CS}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{m}{q} = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{{m + x}}{{q + y}} = \frac{x}{y} \Rightarrow x = y}

αφού x + m = AD = BC = y + q.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Αύγ 11, 2018 1:15 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD και έστω M τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας A\widehat DC. Οι CM, AM

τέμνουν τις BA, BC ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AP=CQ.
Από τα όμοια τρίγωνα
PMK,DMC,\dfrac{b-x}{a}=\dfrac{MK}{DM},(1)


,AP=x,QC=y,AD=b,AB=a

Ομοίως απο τα όμοια τρίγωναMQC,AMD,\dfrac{a-y}{b}=\dfrac{MQ}{AM}=\dfrac{MG}{MD},(2),

Στο τρίγωνο DCG από το θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσα MQO,\dfrac{a-y}{y}.\dfrac{OC}{OC+a}.\dfrac{DM}{MG}=1 και λόγω της (2),OC=\dfrac{ay}{b-y}
Από τα όμοια τρίγωνα MCO,AMP,\dfrac{OC}{x}=\dfrac{MC}{MP}=\dfrac{MO}{AM}
και λογω της (1),OC=\dfrac{ax}{b-x},(**)
Συνεπώς απο τις σχέσεις (*),(**)\Rightarrow \dfrac{ay}{b-y}=\dfrac{ax}{b-x}\Leftrightarrow x=y




Γιάννης
Συνημμένα
Ισα τμήματα στις πρευρές παραλληλογράμμου.png
Ισα τμήματα στις πρευρές παραλληλογράμμου.png (61.77 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης