Λόγος... με τόνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος... με τόνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am

Λόγος... με τόνο.png
Λόγος... με τόνο.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία M, N τριχοτομούν την AC, ενώ \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λόγος... με τόνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 12, 2018 12:30 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία M, N τριχοτομούν την AC, ενώ \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.
Από Μενέλαο στο BNC με διατέμνουσα την MP έχουμε 1= \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CM}{MN}\cdot \dfrac{NQ}{QB}= \dfrac{7}{6}\cdot \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{NQ}{QB}, άρα \dfrac{NQ}{QB}= \dfrac{3}{7} οπότε \dfrac{NQ}{BN}= \dfrac{3}{10}.

Έτσι

\dfrac{(ABC)}{(MNQ)}  = \dfrac{(ABC)}{(BNC)}\cdot \dfrac{(BNC)}{(MNQ)} = \dfrac{(ABC)}{(BNC)}\cdot \dfrac{(BMN)}{(MNQ)} =

=\dfrac{AC}{NC}\cdot \dfrac{BN}{NQ}= \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{10}{3}=10


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Λόγος... με τόνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Αύγ 12, 2018 12:48 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Λόγος... με τόνο.png
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία M, N τριχοτομούν την AC, ενώ \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.
Καλημέρα Γιώργο

Είναι BP=\dfrac{7a}{13},PC=\dfrac{6a}{13}
Εστω E_{0}=(MQN),E_{1}=(BMQ),E_{2}=(BQP)
Τότε(AMB)=(MBN)=(NBC)=E_{0}+E_{1},
Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο BNC με τέμνουσα MQP,\dfrac{BQ}{QN}=\dfrac{7}{3},(*) (1),(*)\Rightarrow \dfrac{(ABC)}{(MQN)}=10




Γιάννης

Καλημέρα Μιχάλη
Συνημμένα
Λόγος ......με τόνο.png
Λόγος ......με τόνο.png (46.44 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος... με τόνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Αύγ 12, 2018 12:59 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Λόγος... με τόνο.png
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία M, N τριχοτομούν την AC, ενώ \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.
Θεώρημα Μενελάου στο \vartriangle MPC με διατέμνουσα \overline {BQN} :
Λόγος με τόνο.png
Λόγος με τόνο.png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές
\dfrac{{MQ}}{{QP}} \cdot \dfrac{{PB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CN}}{{NM}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{QP}} = \dfrac{{13}}{6} \Rightarrow \boxed{\frac{{MQ}}{{MP}} = \frac{{13}}{{20}}}\,\,(1) .Επίσης ισχύει :


\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{(MNQ)}}{{(MPC)}} = \frac{{MQ}}{{MP}} \cdot \frac{{MN}}{{MC}} = \frac{{13}}{{20}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{13}}{{40}} \hfill \\ 
  \frac{{(MPC)}}{{(ABC)}} = \frac{{CM}}{{CA}} \cdot \frac{{CP}}{{CB}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{{13}} = \frac{4}{{13}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και αντιστρέφω το αποτέλεσμα: \boxed{\frac{{(ABC)}}{{(MNQ)}} = 10}


Με πρόλαβε πολλοί ! Καλημερίζω όλους .


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1876
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Λόγος... με τόνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Αύγ 12, 2018 2:25 pm

Άραγε, αν στον επόμενο σύνδεσμο, θεωρήσουμε έναν, τον κατάλληλο, :idea: από τους τρεις λόγους ίσο με μηδέν, ο τύπος του  (MNL) θα δώσει λύση;

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... ών#p229927


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης