Τανγκό για δύο λόγους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τανγκό για δύο λόγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 14, 2018 12:01 pm

Τανγκό.png
Τανγκό.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
Ο έγκυκλος ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC) εφάπτεται στις πλευρές BC, AC, AB στα σημεία D, E, F

αντίστοιχα και έστω σημείο P του τόξου \overset\frown{EF} στο οποίο δεν ανήκει το D. ΟΙ PE,EQ τέμνουν την BC στα M, N

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία P, F, B, M είναι ομοκυκλικά.

β) \displaystyle \frac{{EM}}{{EN}} = \frac{{BF}}{{BP}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7340
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τανγκό για δύο λόγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 15, 2018 12:01 am

α) \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ( χορδή κι εφαπτομένη ) . Αφού FE//NM (προφανές) θα είναι \widehat {{\theta _2}} = \widehat M συνεπώς \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat M} , οπότε το τετράπλευρο PFBM είναι εγγράψιμο .

β) Λόγω τώρα του εγγραψίμου αυτού τετράπλευρου θα είναι \widehat \phi  = \widehat {{\phi _2}}, αλλά από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο PFQE θα είναι \widehat \phi  = \widehat {{\phi _1}} άρα \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\phi _2}}.

Η τελευταία ισότητα μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο BQFN είναι εγγράψομο .

Επειδή τα τρίγωνα CME\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PEF είναι όμοια θα ισχύει : \dfrac{{EM}}{{EF}} = \dfrac{{EC}}{{PF}}\,\,(1) ενώ ζητώ

να δείξω ότι : \dfrac{{EM}}{{EN}} = \dfrac{{BF}}{{BP}}\, = \dfrac{{EC}}{{BP}}\,(2) αφού EM = FB
Ταγκο για δύο λόγους.png
Ταγκο για δύο λόγους.png (45.07 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Αρκεί επομένως να δείξω ότι \dfrac{{EF}}{{PF}} = \dfrac{{EN}}{{BP}} που γι’ αυτό πάλι αρκεί να δείξω ότι:

\vartriangle EFN \approx \vartriangle PFB που ισχύει αφού έχουν :

1. \widehat {FNE} = \widehat {FBQ} = \widehat {FBP} από το εγγράψιμο τετράπλευρο BQFN και

2. \widehat {FEN} = \widehat {FPB} από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο PFBM


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τανγκό για δύο λόγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Αύγ 15, 2018 1:42 pm

Καλησπέρα Γιώργο. Μια κάπως διαφορετική λύση.
α) Εύκολα προκύπτει ότι \widehat{FDE}=\widehat{B}. Αυτό γιατί \widehat{BDF}=90-\widehat{B}/2=\widehat{A}/2+\widehat{B}/2
οπότε \widehat{FDE}=180-2*(\widehat{A}/2+\widehat{B}/2)=\widehat{B}.
Από το εγγράψιμο FPED προκύπτει ότι \widehat{FPE}+\widehat{FDE}=180. Δηλαδή \widehat{FPE}+\widehat{B}=180. απ' όπου προκύπτει ότι PMBF εγγράψιμο που είναι και το ζητούμενο. Επίσης προκύπτει ότι \widehat{FPE}=\widehat{A}+\widehat{B}


β) Από την ομοιότητα των \triangle FEM\approx \triangle PFB έχουμε ότι: \frac{EM}{FM}=\frac{BF}{BP}. Αρα σε σχέση με την ζητούμενη ισότητα αρκεί EN=FM. Αυτό προκύπτει εύκολα από την ισότητα των \triangle FBM=\triangle ECN. Εχουν FB=EC, \widehat{FBM}=\widehat{ECB}=\widehat{B} και
\widehat{BFM}=\widehat{\theta}=\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{\phi}=\widehat{FEC}-\widehat{\phi}=\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{\phi}=\widehat{NEC}.
Συνημμένα
tango.png
tango.png (40.93 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
tango.pptx
(62.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 17 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες