Τανγκό για δύο λόγους

#1

: Τανγκό.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Ο έγκυκλος ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC)

εφάπτεται στις πλευρές BC, AC, AB

στα σημεία D, E, F

αντίστοιχα και έστω σημείο

του τόξου $\overset\frown{EF}$ στο οποίο δεν ανήκει το

ΟΙ

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία P, F, B, M

είναι ομοκυκλικά.

β) $\displaystyle \frac{{EM}}{{EN}} = \frac{{BF}}{{BP}}$

#2

α) $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( χορδή κι εφαπτομένη ) . Αφού FE//NM

(προφανές) θα είναι $\widehat {{\theta _2}} = \widehat M$ συνεπώς $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat M}$ , οπότε το τετράπλευρο PFBM

είναι εγγράψιμο .

β) Λόγω τώρα του εγγραψίμου αυτού τετράπλευρου θα είναι $\widehat \phi = \widehat {{\phi _2}}$ , αλλά από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο PFQE

θα είναι $\widehat \phi = \widehat {{\phi _1}}$ άρα $\widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\phi _2}}$ .

Η τελευταία ισότητα μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο BQFN

είναι εγγράψομο .

Επειδή τα τρίγωνα $CME\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PEF$ είναι όμοια θα ισχύει : $\dfrac{{EM}}{{EF}} = \dfrac{{EC}}{{PF}}\,\,(1)$ ενώ ζητώ

να δείξω ότι : $\dfrac{{EM}}{{EN}} = \dfrac{{BF}}{{BP}}\, = \dfrac{{EC}}{{BP}}\,(2)$ αφού EM = FB

: Ταγκο για δύο λόγους.png (45.07 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές

Αρκεί επομένως να δείξω ότι $\dfrac{{EF}}{{PF}} = \dfrac{{EN}}{{BP}}$ που γι’ αυτό πάλι αρκεί να δείξω ότι:

$\vartriangle EFN \approx \vartriangle PFB$ που ισχύει αφού έχουν :

1. $\widehat {FNE} = \widehat {FBQ} = \widehat {FBP}$ από το εγγράψιμο τετράπλευρο BQFN

και

2. $\widehat {FEN} = \widehat {FPB}$ από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο PFBM

Altrian · #3

Καλησπέρα Γιώργο. Μια κάπως διαφορετική λύση.
α) Εύκολα προκύπτει ότι $\widehat{FDE}=\widehat{B}$ . Αυτό γιατί $\widehat{BDF}=90-\widehat{B}/2=\widehat{A}/2+\widehat{B}/2$
οπότε $\widehat{FDE}=180-2*(\widehat{A}/2+\widehat{B}/2)=\widehat{B}$ .
Από το εγγράψιμο FPED

προκύπτει ότι $\widehat{FPE}+\widehat{FDE}=180.$ Δηλαδή $\widehat{FPE}+\widehat{B}=180.$ απ' όπου προκύπτει ότι PMBF

εγγράψιμο που είναι και το ζητούμενο. Επίσης προκύπτει ότι $\widehat{FPE}=\widehat{A}+\widehat{B}$

β) Από την ομοιότητα των $\triangle FEM\approx \triangle PFB$ έχουμε ότι: $\frac{EM}{FM}=\frac{BF}{BP}.$ Αρα σε σχέση με την ζητούμενη ισότητα αρκεί EN=FM

. Αυτό προκύπτει εύκολα από την ισότητα των $\triangle FBM=\triangle ECN$ . Εχουν FB=EC

, $\widehat{FBM}=\widehat{ECB}=\widehat{B}$ και
$\widehat{BFM}=\widehat{\theta}=\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{\phi}=\widehat{FEC}-\widehat{\phi}=\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{\phi}=\widehat{NEC}$ .

Τανγκό για δύο λόγους

Τανγκό για δύο λόγους

Re: Τανγκό για δύο λόγους

Re: Τανγκό για δύο λόγους

Μέλη σε σύνδεση