Ισόπλευρο και παραλληλία

#1

: Ισόπλευρο και παραλληλία.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές

Ισόπλευρο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο DE F

με

Αν

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου DE F,

να δείξετε ότι HO||BC.

#2

: ισόπλευρο και παραλληλία.png (46.75 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Φέρνω την ευθεία

που προφανώς είναι μεσοκάθετος στις $SF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ και έστω

το σημείο τομής της με την

.

Επειδή το τρίγωνο $TDF \to (120^\circ ,30^\circ ,30^\circ )$ θα είναι $\boxed{DT \bot BC}$ και $\left\{ \begin{gathered} \widehat {HTP} = 60^\circ \hfill \\ \widehat {FHZ} = 60^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\displaystyle$

Αν τώρα φέρω την

και κόψει την

στο

ομοίως έχω $\boxed{DP \bot BC}$ δηλαδή η διαγώνιος

του παραλληλογράμμου HTOP

είναι κάθετη στην

.

Προφανώς λοιπόν το $\vartriangle HTP$ είναι ισόπλευρο και αναγκαστικά το παραλληλόγραμμο HTOP

είναι ρόμβος άρα $HO \bot PT \Rightarrow HO//BC$ .

min## · #3

("λύση" εκτός φακέλου)Αν οι EH,FH

τέμνουν τον κύκλο στα Y,X

αντίστοιχα,προκύπτει ότι EX,FY

κάθετες στην

.(απλό κυνήγι γωνιών-φαίνεται και από την παραπάνω λύση).Άρα η πολική του

περνάει από το (σταθερό) σημείο στο άπειρο με προσανατολισμό κάθετο στην

,και επειδή ισχύει το αντίθετο και επιπλέον οι πολικές των σημείων στο άπειρο περνούν από το

,το

κινείται σε ευθεία.Όμως,αν

το σημείο στο άπειρο,πρέπει

,

κάθετες,όμως εξ'ορισμού του

είναι

κάθετες και το ζητούμενο έπεται...

Al.Koutsouridis · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 am
Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο

με Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε το δοσμένο κύκλο ως το μοναδιαίο και το σημείο

να συμπίπτει με την φανταστική μονάδα (

).

Θα θεωρήσουμε γνωστό επίσης ότι η εικόνα

του ορθόκεντρου τριγώνου $\D\E\F$ με κορυφές στο μοναδιαίο κύκλο δίνεται από την σχέση h=d+e+f

.

Από τις παραλληλίες DE||AB

,

σημείων του μοναδιάιου κύκλου έχουμε de=ib

,

. Οπότε για το ορθόκεντρο έχουμε

$h=d+e+f= d+\dfrac{ib}{d} +\dfrac{ic}{d} = d+ \dfrac{i(b+c)}{d} = d+\dfrac{-ia}{d} = d+\dfrac{-i^2}{d} = d+\dfrac{1}{d} = d+\bar d=Re$

Άρα το σημείο

βρίσκεται στον πραγματικό άξονα και HO || BC

.

#5

Έστω τα σημεία $Y\equiv (O)\cap EH$ και $X\equiv (O)\cap FH$ .

Από $\angle EXF = \angle EDF = 60^{o} = \angle EYF$ και $\angle ABC = 60^{o} = \angle ACB$ προκύπτει εύκολα ότι $XE\perp BC\ \ \ ,(1)$ και $YF\perp BC\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)$ έχουμε ότι το ορθόκεντρο

του $\vartriangle D EF$ , ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων του μεταβλητού τραπεζίου EXYF

με $EX\parallel YF$ σταθερής διεύθυνσης.

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί των βάσεων του ως άνω μεταβλητού τραπεζίου περνάει από το κέντρο

του κύκλου (O)

, είναι παράλληλη προς την

λόγω των $(1),\ (2)$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 am
Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο

με Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι

Επειδή $\displaystyle DABE,DACF$ ισοσκελή τραπέζια, θα είναι $\displaystyle DA = EB = CF \Rightarrow EBFC$ ισοσκελές τραπέζιο,άρα

$\displaystyle EF = BC$ ,επομένως και τα αντίστοιχα αποστήματα αυτών $\displaystyle ON,OM$ θα είναι ίσα.

Έτσι, $\displaystyle DH = 2ON = 2OM = OA = R$ .Ακόμη, $\displaystyle DH = DQ = R$ (το συμμετρικό του $\displaystyle H$ ως προς $\displaystyle DF$ είναι σημείο του κύκλου)

και το τρίγωνο $\displaystyle ODQ$ είναι ισόπλευρο

Θεωρώντας τον κύκλο $\displaystyle \left( {D,R} \right)$ θα είναι $\displaystyle \angle QHO = \angle \frac{{QDC}}{2} = {30^0}$ .Αλλά $\displaystyle \angle AHQ = {30^0}$ ,οπότε $\displaystyle \angle AHO = {60^0} = \angle ABC \Rightarrow \boxed{HO//BC}$

: Ισόπλευρο και παραλληλία.png (39.84 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Ισόπλευρο και παραλληλία

Ισόπλευρο και παραλληλία

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση