Ισόπλευρο και παραλληλία
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ισόπλευρο και παραλληλία
με Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ισόπλευρο και παραλληλία
Φέρνω την ευθεία που προφανώς είναι μεσοκάθετος στις και έστω το σημείο τομής της με την .
Επειδή το τρίγωνο θα είναι και
Αν τώρα φέρω την και κόψει την στο ομοίως έχω δηλαδή η διαγώνιος του παραλληλογράμμου είναι κάθετη στην .
Προφανώς λοιπόν το είναι ισόπλευρο και αναγκαστικά το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος άρα .
Re: Ισόπλευρο και παραλληλία
("λύση" εκτός φακέλου)Αν οι τέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα,προκύπτει ότι κάθετες στην .(απλό κυνήγι γωνιών-φαίνεται και από την παραπάνω λύση).Άρα η πολική του περνάει από το (σταθερό) σημείο στο άπειρο με προσανατολισμό κάθετο στην ,και επειδή ισχύει το αντίθετο και επιπλέον οι πολικές των σημείων στο άπειρο περνούν από το ,το κινείται σε ευθεία.Όμως,αν το σημείο στο άπειρο,πρέπει , κάθετες,όμως εξ'ορισμού του είναι κάθετες και το ζητούμενο έπεται...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ισόπλευρο και παραλληλία
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε το δοσμένο κύκλο ως το μοναδιαίο και το σημείο να συμπίπτει με την φανταστική μονάδα ().george visvikis έγραψε: ↑Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 amΙσόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο
με Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι
Θα θεωρήσουμε γνωστό επίσης ότι η εικόνα του ορθόκεντρου τριγώνου με κορυφές στο μοναδιαίο κύκλο δίνεται από την σχέση .
Από τις παραλληλίες , σημείων του μοναδιάιου κύκλου έχουμε , . Οπότε για το ορθόκεντρο έχουμε
Άρα το σημείο βρίσκεται στον πραγματικό άξονα και .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ισόπλευρο και παραλληλία
Έστω τα σημεία και .
Από και προκύπτει εύκολα ότι και
Από έχουμε ότι το ορθόκεντρο του , ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων του μεταβλητού τραπεζίου με σταθερής διεύθυνσης.
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί των βάσεων του ως άνω μεταβλητού τραπεζίου περνάει από το κέντρο του κύκλου , είναι παράλληλη προς την λόγω των και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Από και προκύπτει εύκολα ότι και
Από έχουμε ότι το ορθόκεντρο του , ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων του μεταβλητού τραπεζίου με σταθερής διεύθυνσης.
Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί των βάσεων του ως άνω μεταβλητού τραπεζίου περνάει από το κέντρο του κύκλου , είναι παράλληλη προς την λόγω των και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ισόπλευρο και παραλληλία
george visvikis έγραψε: ↑Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 amΙσόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο
με Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι
Επειδή ισοσκελή τραπέζια, θα είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα
,επομένως και τα αντίστοιχα αποστήματα αυτών θα είναι ίσα.
Έτσι, .Ακόμη, (το συμμετρικό του ως προς είναι σημείο του κύκλου)
και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
Θεωρώντας τον κύκλο θα είναι .Αλλά ,οπότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες