Διχοτόμος και τμήμα

KARKAR · #1

: Διχοτόμος και τμήμα.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Πάνω στην ακτίνα AE=3

ενός κύκλου (A)

παίρνουμε σημείο

, έτσι ώστε AS=2

.

Η κάθετη της ακτίνας στο

τέμνει τον κύκλο στο

. Προεκτείνω το

κατά

.

Η κάθετη της

στο

τέμνει την

στο

και την

στο

.

α) Δείξτε ότι : $CA \perp AB$ ... β) Δείξτε ότι : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$ ... γ) Υπολογίστε το (EB)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα ενός κύκλου παίρνουμε σημείο , έτσι ώστε .

Η κάθετη της ακτίνας στο τέμνει τον κύκλο στο . Προεκτείνω το κατά .

Η κάθετη της στο τέμνει την στο και την στο .

α) Δείξτε ότι : $CA \perp AB$ ... β) Δείξτε ότι : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$ ... γ) Υπολογίστε το

Α) Με Π.Θ στο $\displaystyle \vartriangle ATS \Rightarrow TS = \sqrt 5$ .Ακόμη, $\displaystyle Q{T^2} = QS \cdot QE = 30 \Rightarrow QT = \sqrt 5 \cdot \sqrt 6$

Από το εγγράψιμο $\displaystyle PDSA \Rightarrow TS \cdot TP = TA \cdot TD \Rightarrow \sqrt 5 \cdot TP = 6 \Rightarrow TP = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$

$\displaystyle \angle QTA = \angle TCD$ (οξείες με κάθετες πλευρές),άρα ολες οι κόκκινες γωνίες του σχήματος

είναι ίσες και $\displaystyle \vartriangle QAT \simeq \vartriangle PCT \Rightarrow \frac{{QT}}{{CT}} = \frac{{PT}}{{TA}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \tan \angle QCT$

Επίσης $\displaystyle \tan \angle TAS = \frac{{TS}}{{AS}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ ,άρα $\displaystyle \angle QCT = \angle TAS \Rightarrow CTAQ$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow AC \bot AB$

Β) Με $\displaystyle TZ \bot AC \Rightarrow TZ = TD = 2 \Rightarrow CT$ διχοτόμος της $\displaystyle \angle ACB$

Γ) Από το εγγράψιμο $\displaystyle BDTS$ έχουμε

$\displaystyle AS \cdot AB = AT \cdot AD \Rightarrow 2.AB = 15 \Rightarrow AB = 7.5 \Rightarrow \boxed{EB = 4.5}$

: διχοτόμος και τμήμα.png (18.71 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα ενός κύκλου παίρνουμε σημείο , έτσι ώστε .Η κάθετη της ακτίνας στο τέμνει τον κύκλο στο . Προεκτείνω το κατά .Η κάθετη της στο τέμνει την στο και την στο .
α) Δείξτε ότι : $CA \perp AB$ ... β) Δείξτε ότι : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$ ... γ) Υπολογίστε το

Στο σχήμα του Θανάση

α) $\angle TEA\mathop = \limits^{AT = AE = 3} \angle ATE\mathop = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle CTD\mathop \Rightarrow \limits^{\angle TSE = \angle CDT = {{90}^0}}$ $\vartriangle TSE \sim \vartriangle CDT \Rightarrow$

$\dfrac{{TE}}{{TC}} = \dfrac{{SE}}{{TD}}\mathop = \limits^{TD = AS = 2} \dfrac{{AS}}{{TD}} = 2$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta } TS\parallel CA\mathop \Rightarrow \limits^{TS \bot AB} CA \bot AB$

β) $\vartriangle CDT \sim \vartriangle TSE \Rightarrow \angle TCD = \angle STE\mathop = \limits^{TS\parallel CA} \angle ACE$

γ) $\left\{ \begin{gathered} \angle ECB = \angle TCA \\ \angle CBE\mathop = \limits^{\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma } \angle TAC \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\vartriangle CBE \sim \vartriangle CTA \Rightarrow$ $\dfrac{{EB}}{{AT}} = \dfrac{{CE}}{{CT}} = \dfrac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{AT = 3} EB = \dfrac{9}{2}$

Στάθης

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα ενός κύκλου παίρνουμε σημείο , έτσι ώστε .

Η κάθετη της ακτίνας στο τέμνει τον κύκλο στο . Προεκτείνω το κατά .

Η κάθετη της στο τέμνει την στο και την στο .

α) Δείξτε ότι : $CA \perp AB$ ... β) Δείξτε ότι : $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$ ... γ) Υπολογίστε το

: Διχοτόμος και τμήμα.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

α) Με Π. Θ βρίσκω $TS=\sqrt 5, TE=\sqrt 6.$ Αλλά, $\displaystyle AT = AE \Leftrightarrow A\widehat ET = A\widehat TE = C\widehat TD$

που σημαίνει ότι τα τρίγωνα CDT, TSE

είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 2:1,

άρα $\displaystyle CT = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow CE = 3\sqrt 6$

Δύναμη σημείου: $\displaystyle CT \cdot CE = C{A^2} - 9 \Leftrightarrow C{A^2} = 45 = 54 - 9 = C{E^2} - A{E^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{CA\bot AB}$

β) Φέρνω $EH\bot BC.$ Είναι, $\displaystyle \frac{{CT}}{{CE}} = \frac{2}{{EH}} \Leftrightarrow EH = 3 = EA \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat{ACE}=\widehat{BCE}}$

γ) $\displaystyle EH||AD \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 3}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{9}{2}}$

Διχοτόμος και τμήμα

Διχοτόμος και τμήμα

Re: Διχοτόμος και τμήμα

Re: Διχοτόμος και τμήμα

Re: Διχοτόμος και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση