Σταθερός λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις.

: Σταθερός λόγος.PNG (10.69 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Το (σταθερό) τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το

είναι το μέσον της

ενώ το

κινείται στην πλευρά

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την

στο

και τον περίκυκλο του τριγώνου MEC

στο

. Στην

παίρνουμε

.

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( BHM \right )}{\left ( MEN \right )}$ είναι σταθερός.

Εφαρμογή : Αν $\left ( BHM \right )=3 \left ( MEN \right )$ να βρεθούν οι οξείες γωνίες του $\Delta ABC$

Ευχαριστώ, Γιώργος.

Altrian · #2

Γιώργο καλησπέρα, δεν γνωρίζω τις παλαιότερες λύσεις, οπότε κάνω μια προσπάθεια from scratch.
Από το

φέρνουμε τις κάθετες προς τις πλευρές AB,AC

που τις τέμνουν στα S,F

αντίστοιχα. Προφανώς SM=b/2, MF=c/2

και $\widehat{NGE}=\widehat{C}$ (βλέπουν το ίδιο τόξο στον κύκλο).
$\frac{(BHM)}{(MEN)}=\frac{BH*SM/2}{NE*MF/2}=\frac{BH}{NE}*\frac{SM}{MF}=\frac{GE}{NE}*\frac{b}{c} =\frac{1}{tan\widehat{C}*tan\widehat{C}}=\frac{1}{tan^2\widehat{C}}=ct$

Οταν τώρα ο λόγος είναι

έχουμε $tan\widehat{C}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Αρα $\widehat{C}=30$ και $\widehat{B}=60$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα. Πολύ ωραία Αλέξανδρε, σ' ευχαριστώ.
Ας κάνουμε ( και ..

..όχι άσκοπα) ένα κόπο ακόμη :
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο του σχήματος είναι όμοιο με το .

Altrian · #4

Γιώργο καλημέρα,
Η

είναι μεσοκάθετος της

και σε συνδυασμό με το τόξο

που φαίνεται από ίσες γωνίες προκύπτουν οι πράσινες ίσες γωνίες μέτρου

.
$HB=||EG \Rightarrow HEGB$ παραλληλόγραμμο. Αρα $\widehat{HEG}=\widehat{HBG}\Rightarrow \widehat{HEM}+\widehat{x}=\widehat{B}+\widehat{x}\Rightarrow \widehat{HEM}=\widehat{B}$ .
Επίσης το AHEM

είναι εγγράψιμο γιατί η

φαίνεται από τις κορυφές A,E

υπό ίσες γωνίες μέτρου $\widehat{B}$ . Αρα κοι η

φαίνεται από τις A,H

υπό ίσες γωνίες συγκεκριμένα μέτρου $\widehat{C}$ .
Αρα το $\triangle HEM$ έχει δύο γωνίες $\widehat{A},\widehat{B}$ ίσες με του $\triangle ABC$ άρα είναι όμοια.

Είμαι σίγουρος ότι θα έχει και συνέχεια......

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 2:12 pm
Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις.
Σταθερός λόγος.PNG
Το (σταθερό) τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το είναι το μέσον της ενώ το κινείται στην πλευρά

Η μεσοκάθετος του τέμνει την στο και τον περίκυκλο του τριγώνου στο . Στην παίρνουμε .

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( BHM \right )}{\left ( MEN \right )}$ είναι σταθερός.

Εφαρμογή : Αν $\left ( BHM \right )=3 \left ( MEN \right )$ να βρεθούν οι οξείες γωνίες του $\Delta ABC$

Ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα σε όλους!

: Σταθερός λόγος.Μ.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Από το εγγεγραμμένο MECG

και το ισοσκελές GBC

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες κι επειδή το HBGE

είναι παραλληλόγραμμο,

θα είναι $H\widehat EM=\widehat B.$ Αλλά, AM=MB

και το

είναι εγγράψιμο, άρα και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Οπότε το

AHME

είναι εγγράψιμο, $B\widehat HM=A\widehat EM$ και τα τρίγωνα BHM, MEN

είναι όμοια. Άρα: $\displaystyle \frac{{(BHM)}}{{(MEN)}} = {\left( {\frac{a}{{2MN}}} \right)^2}$

Από την ομοιότητα όμως των τριγώνων MNC, ABC

παίρνουμε τελικά: $\boxed{\frac{{(BHM)}}{{(MEN)}} = \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}}$

Αν τώρα $\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = 3,$ βρίσκουμε $\displaystyle \widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 30^\circ$

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 10:26 pm
...Ας κάνουμε ( και .. ..όχι άσκοπα) ένα κόπο ακόμη :
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο του σχήματος είναι όμοιο με το .

Εύκολα τώρα τα τρίγωνα είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια ( $H\widehat ME=\widehat A=90^\circ$ , από το εγγράψιμο AHME

) και έχουν τις κόκκινες γωνίες ίσες.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 2:12 pm
Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις.
Σταθερός λόγος.PNG
Το (σταθερό) τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το είναι το μέσον της ενώ το κινείται στην πλευρά

Η μεσοκάθετος του τέμνει την στο και τον περίκυκλο του τριγώνου στο . Στην παίρνουμε .

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( BHM \right )}{\left ( MEN \right )}$ είναι σταθερός.

Εφαρμογή : Αν $\left ( BHM \right )=3 \left ( MEN \right )$ να βρεθούν οι οξείες γωνίες του $\Delta ABC$

Ευχαριστώ, Γιώργος.

Η κάθετη επί της $\displaystyle AC$ στο $\displaystyle C$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle \left( {E,M,C} \right)$ στο $\displaystyle P$ .

Επειδή $\displaystyle ECPG$ ορθογώνιο θα είναι $\displaystyle CP = //EG = //BH \Rightarrow HCPB$ παραλ/μμο ,επομένως η $\displaystyle HP$

περνά από το $\displaystyle M$ και $\displaystyle EM$ μεσοκάθετος της $\displaystyle HP$ και η ισότητα των κόκκινων γωνιών είναι προφανής ,άρα $\displaystyle \vartriangle ABC \simeq \vartriangle HEM$

Λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle AHME,ANMB$ οι μαύρες γωνίες είναι ίσες όπως και οι μωβ οπότε $\displaystyle \vartriangle BHM \simeq \vartriangle MEN$

$\displaystyle \boxed{\frac{{\left( {BHM} \right)}}{{\left( {MEN} \right)}} = {{\left( {\frac{{BM}}{{MN}}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{{MC}}{{MN}}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^2}}$

Αν $\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = 3 \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{c^2}}} = 4 \Rightarrow {a^2} = 4{c^2} \Rightarrow a = 2c \Rightarrow C = {30^0}$ και $\displaystyle B = {60^0}$

: σταθερός λόγος.png (31.54 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση