Τραπεζιακά θέματα

KARKAR · #1

: Τραπεζιακά θέματα.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Α) Σχεδιάστε ένα τραπέζιο ABCD

με βάσεις : AB=42 , DC=14

και

μη παράλληλες πλευρές : AD=27 , BC=15

.

Β1) Δείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C}, \hat{D}$ τέμνονται σε σημείο

της

.

Β2) Αν οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο

, υπολογίστε το μήκος του

.

#2

Kαλημέρα σε όλους.

: 22-09-2018 Γεωμετρία.jpg (35.92 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

Έστω

διχοτόμος της $\displaystyle \widehat C$ .

Έστω $\displaystyle \widehat {DCS} = \widehat {BCS} = \varphi \Rightarrow \widehat {BTC} = \varphi$ (ως εντός εναλλάξ των BT//DC

), οπότε

άρα

ισοσκελές με $\displaystyle \widehat {ADT} = \widehat {ATD} = \omega$ και $\displaystyle \widehat {CDT} = \omega$ (εντός εναλλάξ των AT//DC

.

Άρα

διχοτόμος της $\displaystyle \widehat D$ .

Οι AS, SB

είναι διχοτόμοι γωνιών κορυφής ισοσκελών, άρα και μεσοκάθετοι των DT, SB

, οπότε το

είναι περίκεντρο του DTC

.

Έστω DK, CL=u

ύψη στην

.

Είναι $\displaystyle {u^2} = {27^2} - A{K^2},\;\;{u^2} = {15^2} - B{L^2}$ , με AK+BL=AB-DC=28

, οπότε

$\displaystyle A{K^2} - B{L^2} = 504 \Leftrightarrow \left( {AK - BL} \right)\left( {AK + BL} \right) = 504 \Leftrightarrow AK - BL = 18$

Οπότε AK=23, BL=5

, άρα $\displaystyle u = 10\sqrt 2$ .

Είναι $\displaystyle \frac{{\left( {CDT} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left( {CDT} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{56}}{2} \cdot 10\sqrt 2 = 70\sqrt 2$

Είναι $\displaystyle D{T^2} = D{K^2} + K{T^2} = 216 \Rightarrow DT = 6\sqrt 6$ και $\displaystyle C{T^2} = C{L^2} + L{T^2} = 300 \Rightarrow CT = 10\sqrt 3$

Οπότε $\displaystyle \left( {CDT} \right) = \frac{{CT \cdot CD \cdot DT}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{10\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 6 \cdot 14}}{{4 \cdot 70\sqrt 2 }} = 9$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 22, 2018 8:35 am
Τραπεζιακά θέματα.pngΑ) Σχεδιάστε ένα τραπέζιο με βάσεις : και

μη παράλληλες πλευρές : .

Β1) Δείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C}, \hat{D}$ τέμνονται σε σημείο της .

Β2) Αν οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο , υπολογίστε το μήκος του .

Καλησπέρα σε όλους!

: Τραπεζιακά θέματα.png (42.71 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

B1)

και το ζητούμενο έπεται από άσκηση του σχολικού (1 από τα σύνθετα θέματα στα τραπέζια).

Β2) Οι AD, BC

τέμνονται στο

Επειδή $\displaystyle \frac{{DC}}{{AB}} = \frac{1}{3}$ θα είναι PD=13,5

και

Το

είναι το έγκεντρο του

PAB

και αφού $\displaystyle \frac{{AT}}{{TB}} = \frac{9}{5} = \frac{{PA}}{{PB}},$ η

θα είναι διχοτόμος: $\displaystyle P{T^2} = PA \cdot PB - AT \cdot TB \Leftrightarrow$ $\boxed{PT=22,5}$ (1)

Τα τετράπλευρα ADST, BCST

είναι χαρταετοί και λόγω της διχοτόμου

το

είναι εγγράψιμο. Άρα:

$\displaystyle P\widehat TB = P\widehat BT \Leftrightarrow S\widehat DP = P\widehat CD = P\widehat SD \Leftrightarrow PS = PD = 13,5\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ST=9}$

Τραπεζιακά θέματα

Τραπεζιακά θέματα

Re: Τραπεζιακά θέματα

Re: Τραπεζιακά θέματα

Μέλη σε σύνδεση