Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 29, 2018 8:37 pm

ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png
ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC θεωρούμε τυχαία σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E των ίσων πλευρών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC αντίστοιχα .

Οι BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD τέμνονται στο S και οι DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS τέμνονται στο T.

Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADE τέμνονται, ακόμα, στο M , δείξετε ότι η MT είναι διχοτόμος του τριγώνου MDE.

Η άσκηση αφιερώνεται στον εκ Φαρσάλων αγαπητό, Χημικό Μηχανικό, Θανάση Γκακόπουλο που του αρέσει πολύ η Ευκλείδεια Γεωμετρία.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Σεπ 30, 2018 12:36 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Σεπ 29, 2018 8:37 pm
ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC θεωρούμε τυχαία σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E των ίσων πλευρών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC αντίστοιχα .

Οι BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD τέμνονται στο S και οι DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS τέμνονται στο T.

Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADE τέμνονται, ακόμα, στο M , δείξετε ότι η MT είναι διχοτόμος του τριγώνου MDE.

Η άσκηση αφιερώνεται στον εκ Φαρσάλων αγαπητό, Χημικό Μηχανικό, Θανάση Γκακόπουλο που του αρέσει πολύ η Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png
Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png (38.93 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές
Έστω K\equiv DE\cap BC . Τότε από το πλήρες τετράπλευρο AESDKC προκύπτει ότι η σειρά \left( K,D,T,E \right) είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο) άρα και η δέσμη M.KDTE είναι αρμονική.
Προφανώς το M είναι το
σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου BCEDAK και συνεπώς και τα τετράπλευρα MKCE,MKBD είναι εγγράψιμα σε κύκλους.

Έτσι \angle XMK\mathop  = \limits^{MKCE\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle ECB\mathop  = \limits^{AB = AC} \angle ABC\mathop  = \limits^{MKBD\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle KMD \Rightarrow MK εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου \vartriangle MDE και με την δέσμη M.KDTE αρμονική προκύπτει ότι MT η εσωτερική διχοτόμος του εν λόγω τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης