Το τμήμα

KARKAR · #1

: Το τμήμα.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Στο σκέλος

του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημείο

και έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής του

με το ύψος

.

Η

τέμνει την βάση

στο σημείο

. Δείξτε ότι $PN\parallel AC$ .

Αν BC=12

,

και $AS=\dfrac{1}{4}AB$ , υπολογίστε το μήκος του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 08, 2018 7:47 am
Το τμήμα.pngΣτο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημείο και έστω

το μέσο του και το σημείο τομής του με το ύψος .

Η τέμνει την βάση στο σημείο . Δείξτε ότι $PN\parallel AC$ .

Αν , και $AS=\dfrac{1}{4}AB$ , υπολογίστε το μήκος του .

: Το τμήμα.Κ.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

Θεώρημα Μενελάου στο PDC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {AMN} :$ $\displaystyle \frac{{CN}}{{ND}} \cdot \frac{{AD}}{{AP}} \cdot \frac{{PM}}{{MC}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{CN}}{{ND}} = \frac{{AP}}{{AD}} \cdot \frac{{MC}}{{PM}}}$ (1)

$\displaystyle DM||AS \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{PD}} = \frac{{SP}}{{PM}} \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{SP}}{{MC}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{CN}}{{ND}} = \frac{{SP}}{{MC}} \cdot \frac{{MC}}{{PM}} = \frac{{AP}}{{PD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{PN||AC}$

Για BC=12

,

και $AS=\dfrac{1}{4}AB$ είναι AB=AC=10, AS=2.5, MD=3.75,

άρα:

$\displaystyle \frac{{PD}}{{AP}} = \frac{{MD}}{{AS}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{PN}}{{AC}} = \frac{{PD}}{{AD}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{PN=6}$

#3

α ) Προφανώς η

διέρχεται από το μέσο

της πλευράς

. Από Θ.

στο $\vartriangle ADC$ έχω :

$\dfrac{{DP}}{{PA}} \cdot \dfrac{{AT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CN}}{{ND}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{DP}}{{PA}} = \dfrac{{DN}}{{NC}} \Rightarrow PN//AC$ .

: Το τμήμα.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

β) Στο $\vartriangle ABD$ από Θ. Μενελάου έχω :

$\dfrac{{AS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CD}} \cdot \dfrac{{DP}}{{PA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{{DP}}{{PA}} = 1$ .

Συνεπώς $\dfrac{{DP}}{{PA}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{DP}}{{DA}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \boxed{PN = \dfrac{3}{5}AC = 6}$ αφού $AC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10$ .

Το τμήμα

Το τμήμα

Re: Το τμήμα

Re: Το τμήμα

Μέλη σε σύνδεση