Ψάχνοντας τη χορδή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ψάχνοντας τη χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 09, 2018 12:02 pm

Ψάχνοντας  τη   χορδή.png
Ψάχνοντας τη χορδή.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Το ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC έχει βάση BC=40 και ύψος AD=30 . Ευθεία διερχόμενη από το B

και το μέσο M του AD , τέμνει τον περίκυκλο του ADC στα σημεία S,T . Υπολογίστε το (ST) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 09, 2018 1:46 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 12:02 pm
Ψάχνοντας τη χορδή.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC έχει βάση BC=40 και ύψος AD=30 . Ευθεία διερχόμενη από το B

και το μέσο M του AD , τέμνει τον περίκυκλο του ADC στα σημεία S,T . Υπολογίστε το (ST) .
Με Π. Θ βρίσκω ότι BM=25. Είναι ακόμα \displaystyle MS \cdot MT = MA \cdot MD \Leftrightarrow \boxed{MS\cdot MT=225} (1)
Ψάχνοντας τη χορδή.png
Ψάχνοντας τη χορδή.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
\displaystyle BS \cdot BT = BD \cdot BC = 800 \Leftrightarrow (BM - MS)(BM + MT) = 800 \Leftrightarrow

\displaystyle B{M^2} + BM(MT - MS) - MS \cdot MT = 800\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 625 + 25(MT - MS) - 225 = 800 \Leftrightarrow

\boxed{MT-MS=16} (2) Λύνοντας το σύστημα των (1), (2) βρίσκω \displaystyle MT = 25,MS = 9 \Rightarrow \boxed{ST=34}

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης και λύση ώρα 4:00 pm


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 09, 2018 3:45 pm

Θέτω: BS = w\,\,,\,\,SM = x\,\,,\,\,MY = y ισχύουν ταυτόχρονα :
Ψάχνοντας τη χορδή.png
Ψάχνοντας τη χορδή.png (26.08 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  xy = {15^2} \hfill \\ 
  x + w = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}}  = 25 \hfill \\ 
  w(w + x + y) = 20 \cdot 40 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  xy = {15^2} \hfill \\ 
  w = 25 - x \hfill \\ 
  (25 - x)(25 + y) = 800 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 9 \hfill \\ 
  y = 25 \hfill \\ 
  w = 16 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. άρα \boxed{ST = 34}

Αλλά και με ένα Π.Θ. στο τρίγωνο CBT έχω BT=50 κ.λ.π.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Οκτ 09, 2018 4:56 pm

Επειδή ADC ορθογώνιο οι κάθετες από A, C στις AD, DC αντίστοιχα θα τέμνονται επί του κύκλου στο T_1. Με κάποια προσοχή στη διατύπωση, θεώρημα Θαλή στο BCT ειναι CT \parallel MD άρα T, T_1 ταυτίζονται. Απο εκει τα άλλα προκύπτουν εύκολα με ένα πυθαγόρειο και μια δύναμη σημείου.
Συνημμένα
geogebra-export.png
geogebra-export.png (663.4 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 09, 2018 5:21 pm

Ψάχνοντας τη χορδή_new.png
Ψάχνοντας τη χορδή_new.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Δε γράφω, αρχικά, τον κύκλο . Κατασκευάζω το ορθογώνιο ACDT και έστω S η προβολή του D στην ST . το σημείο τομής M των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST είναι το μέσο του AD

Τα ορθογώνια τρίγωνα CBT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBM είναι της μορφής (4k,3k,5k)\,\,\,,k > 0 και έχουν υποτείνουσες : ST = 50\,\,,\,\,BM = 25 \Rightarrow MT = 25.

Από το Θ Ευκλείδη στο ορθογώνιο τρίγωνο DBM έχω : B{D^2} = BS \cdot BM \Rightarrow 400 = 25BS \Rightarrow \boxed{BS = 16} και άρα \boxed{ST = 9 + 25 = 34}.

Είναι δε προφανές ότι τα σημεία A,S,D,C,T είναι ομοκτκλικά.

Η διευκρίνηση της παρατήρησης στην προηγούμενη ανάρτησή μου


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1444
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 10, 2018 7:59 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 09, 2018 12:02 pm
Ψάχνοντας τη χορδή.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC έχει βάση BC=40 και ύψος AD=30 . Ευθεία διερχόμενη από το B

και το μέσο M του AD , τέμνει τον περίκυκλο του ADC στα σημεία S,T . Υπολογίστε το (ST) .

Με \displaystyle Z συμμετρικό του \displaystyle D ως προς \displaystyle C και \displaystyle DO//BT \Rightarrow AN = NO και \displaystyle \frac{{ZO}}{{ON}} = \frac{{ZD}}{{DB}} = 2 \Rightarrow ZO = 2ON = OA

Έτσι \displaystyle DO = 25 και \displaystyle MN = \frac{{25}}{2}

Ισχύει, \displaystyle SM \cdot MT = 225 και \displaystyle NT \cdot NS = AN \cdot NK = \frac{{43}}{4} και με \displaystyle MN = \frac{{25}}{2} παίρνουμε το σύστημα

\displaystyle y\left( {2x + 25} \right) = 450 και \displaystyle x\left( {4y + 50} \right) = 1075 με λύση \displaystyle \boxed{y = 9},\boxed{x = \frac{{25}}{2}} ,άρα \displaystyle \boxed{ST = 34}
χορδή.png
χορδή.png (755.4 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 11, 2018 7:37 am

Ψάχνοντας  τη   χορδή.png
Ψάχνοντας τη χορδή.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
Μια σύντομη λύση προκύπτει από το γεγονός ότι για οποιοδήποτε ισοσκελές ,

η DS είναι κάθετη της BM ( δείξτε το ! ) , οπότε : BS\cdot BM=BD^2

και γνωρίζοντας το BS , ο υπολογισμός του ST είναι πλέον απλός ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 11, 2018 9:36 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 7:37 am
Ψάχνοντας τη χορδή.png Μια σύντομη λύση προκύπτει από το γεγονός ότι για οποιοδήποτε ισοσκελές ,

η DS είναι κάθετη της BM ( δείξτε το ! ) , οπότε : BS\cdot BM=BD^2


και γνωρίζοντας το BS , ο υπολογισμός του ST είναι πλέον απλός ...
Μα νομίζω στη δεύτερη μου ανάρτηση αυτό έχω δείξει ( με ανάδρομη έστω) διαδικασία .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης