Καθετότητα εκτός λογικής

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Καθετότητα εκτός λογικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 16, 2018 12:53 pm

Καθετότητα εκτός  λογικής.png
Καθετότητα εκτός λογικής.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Στο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο S , ώστε :

SB=2,SA=4,SC=6 . ( Μη φοβάστε , η υποτείνουσα δεν είναι στα ζητούμενα :lol: ) .

Έστω P το συμμετρικό του S ως προς την πλευρά AB . Δείξτε ότι : CP \perp PB .



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Οκτ 17, 2018 11:09 am

Καλημέρα,

Με βάση το σχήμα έχουμε:
a^{2}+b^{2}=16. [1]
a^{2}+c^{2}=4.[2]
\left ( c+b-a \right )^{2}+b^{2}=36.[3]\Rightarrow ...\Rightarrow 2cb=2ca+2ab+(36-(c^{2}+a^{2}+2b^{2})).[4]
Από τις [1], [2] έχω: 2a^{2}+2b^{2}=32, a^{2}+c^{2}=4. Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνω:
3a^{2}+2b^{2}+c^{2}=36\Rightarrow 36-(a^{2}+c^{2}+2b^{2})=2a^{2}.[5]
Αντικαθιστώντας την [5] στην [4] παίρνω:
2cb=2ca+2ab+2a^{2}\Rightarrow cb=a(c+b+a).
\Rightarrow FA*FB=FP*FO
Αλλά bc είναι η δύναμη του F στον κύκλο, άρα τα σημεία P,O ανήκουν επίσης στον ίδιο κύκλο. Αρα \angle CPB=\angle CAB=90 (βαίνουν στην διάμετρο).

Για λόγους πληρότητας να αναφέρω ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα A,B,O,P έχει κέντρο το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των AB, OP που συμπίπτει με αυτό των AB, CA εκ κατασκευής, άρα πρόκειται για τον ίδιο κύκλο. (Μόνο η ισότητα της δύναμης του F
δεν είναι ικανή).


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
ektos_logikis_kathetotita.png
ektos_logikis_kathetotita.png (37.53 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 17, 2018 1:59 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:53 pm
Καθετότητα εκτός λογικής.pngΣτο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο S , ώστε :

SB=2,SA=4,SC=6 . ( Μη φοβάστε , η υποτείνουσα δεν είναι στα ζητούμενα :lol: ) .

Έστω P το συμμετρικό του S ως προς την πλευρά AB . Δείξτε ότι : CP \perp PB .

Θεώρημα διαμέσου στο \displaystyle \vartriangle PCF

\displaystyle C{P^2} + {6^2} = 2C{F^2} + \frac{{S{P^2}}}{2} \Rightarrow C{P^2} + 36 = 2(A{F^2} + {a^2}) + 2S{F^2}

\displaystyle C{P^2} + 36 = 2(A{F^2} + S{F^2}) + 2{a^2} \Rightarrow C{P^2} + 36 = 2 \cdot {4^2} + 2{a^2} \Rightarrow \boxed{C{P^2} = 2{a^2} - 4}

Ισχύει \displaystyle C{P^2} + P{B^2} = 2{a^2} - 4 + 4 = B{C^2} \Rightarrow CP \bot PB
Καθετότητα εκτός λογικής.png
Καθετότητα εκτός λογικής.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 17, 2018 2:42 pm

Εκπληκτικές και οι δύο λύσεις :clap2: Ας υπολογίσουμε τώρα την υποτείνουσα :oops:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7186
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 17, 2018 3:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 17, 2018 2:42 pm
Εκπληκτικές και οι δύο λύσεις :clap2: Ας υπολογίσουμε τώρα την υποτείνουσα :oops:
Υποτείνουσα.png
Υποτείνουσα.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
Με ν. συνημιτόνου στο APB: \displaystyle {b^2} = 20 - 16\cos 135^\circ  = 4(5 + 2\sqrt 2 ) \Leftrightarrow \boxed{BC = b\sqrt 2  = 2\sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }


Αλλιώς με Θ. Πτολεμαίου στο APBC, \displaystyle 4b\sqrt 2  + 2b = bCP \Leftrightarrow CP = 4\sqrt 2  + 2 και με Π.Θ στο PBC, \boxed{BC =  2\sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης