Καθετότητα εκτός λογικής

KARKAR · #1

: Καθετότητα εκτός λογικής.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , βρίσκεται σημείο

, ώστε :

. ( Μη φοβάστε , η υποτείνουσα δεν είναι στα ζητούμενα

) .

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς την πλευρά

. Δείξτε ότι : $CP \perp PB$ .

Altrian · #2

Καλημέρα,

Με βάση το σχήμα έχουμε:
$a^{2}+b^{2}=16. [1]$
$a^{2}+c^{2}=4.[2]$
$\left ( c+b-a \right )^{2}+b^{2}=36.[3]$ $\Rightarrow ...\Rightarrow 2cb=2ca+2ab+(36-(c^{2}+a^{2}+2b^{2})).[4]$
Από τις [1], [2] έχω: $2a^{2}+2b^{2}=32, a^{2}+c^{2}=4$ . Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνω:
$3a^{2}+2b^{2}+c^{2}=36\Rightarrow 36-(a^{2}+c^{2}+2b^{2})=2a^{2}.[5]$
Αντικαθιστώντας την [5]

στην

παίρνω:
$2cb=2ca+2ab+2a^{2}\Rightarrow cb=a(c+b+a)$ .
$\Rightarrow FA*FB=FP*FO$
Αλλά

είναι η δύναμη του

στον κύκλο, άρα τα σημεία P,O

ανήκουν επίσης στον ίδιο κύκλο. Αρα $\angle CPB=\angle CAB=90$ (βαίνουν στην διάμετρο).

Για λόγους πληρότητας να αναφέρω ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα A,B,O,P

έχει κέντρο το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των AB, OP

που συμπίπτει με αυτό των AB, CA

εκ κατασκευής, άρα πρόκειται για τον ίδιο κύκλο. (Μόνο η ισότητα της δύναμης του

δεν είναι ικανή).

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 12:53 pm
Καθετότητα εκτός λογικής.pngΣτο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , βρίσκεται σημείο , ώστε :

. ( Μη φοβάστε , η υποτείνουσα δεν είναι στα ζητούμενα ) .

Έστω το συμμετρικό του ως προς την πλευρά . Δείξτε ότι : $CP \perp PB$ .

Θεώρημα διαμέσου στο $\displaystyle \vartriangle PCF$

$\displaystyle C{P^2} + {6^2} = 2C{F^2} + \frac{{S{P^2}}}{2} \Rightarrow C{P^2} + 36 = 2(A{F^2} + {a^2}) + 2S{F^2}$

$\displaystyle C{P^2} + 36 = 2(A{F^2} + S{F^2}) + 2{a^2} \Rightarrow C{P^2} + 36 = 2 \cdot {4^2} + 2{a^2} \Rightarrow \boxed{C{P^2} = 2{a^2} - 4}$

Ισχύει $\displaystyle C{P^2} + P{B^2} = 2{a^2} - 4 + 4 = B{C^2} \Rightarrow CP \bot PB$

: Καθετότητα εκτός λογικής.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

KARKAR · #4

Εκπληκτικές και οι δύο λύσεις

Ας υπολογίσουμε τώρα την υποτείνουσα

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 2:42 pm
Εκπληκτικές και οι δύο λύσεις Ας υπολογίσουμε τώρα την υποτείνουσα

: Υποτείνουσα.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Με ν. συνημιτόνου στο APB

: $\displaystyle {b^2} = 20 - 16\cos 135^\circ = 4(5 + 2\sqrt 2 ) \Leftrightarrow$ $\boxed{BC = b\sqrt 2 = 2\sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }$

Αλλιώς με Θ. Πτολεμαίου στο APBC

, $\displaystyle 4b\sqrt 2 + 2b = bCP \Leftrightarrow CP = 4\sqrt 2 + 2$ και με Π.Θ στο PBC,

$\boxed{BC = 2\sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }$

Καθετότητα εκτός λογικής

Καθετότητα εκτός λογικής

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

Re: Καθετότητα εκτός λογικής

Μέλη σε σύνδεση