Καθετότητα άνευ - προφανούς - λόγου

[KARKAR]

Καθετότητα άνευ -προφανούς- λόγου.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Στο πλάγιο παραλληλόγραμμο τα σημεία είναι οι προβολές της κορυφής

στις ημιευθείες και αντίστοιχα , ενώ το είναι η τομή των ημιευθειών .

Δείξτε ότι : . Είναι πιθανό οι να μην τέμνονται ;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Λήμμα 1

Έστω τρίγωνο και το αντιδιαμετρικό του . Φέρνουμε από το εφαπτομένη στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου (ο οποίος έστω πως έχει κέντρο το ) και έστω η τομή αυτής της εφαπτομένης με το . Τότε αν η τέμνει τις και στα . Τότε . Αυτό το λήμμα το έχουμε δει πολλές φορές στο και για αυτό δεν θα γράψω απόδειξη.

Καθετότητα άνευ - προφανούς - λόγου 1.png (22.33 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Λήμμα 2

Η ευθεία η οποία περνάει από το και τέμνει τις και στα αντίστοιχα ώστε είναι μοναδική. Πράγματι έστω πως υπήρχε μια άλλη ευθεία και έστω πως έτεμνε τις , στα και . Αυτό θα σήμαινε πως το είναι παραλληλόγραμμο άρα άτοπο.
Οπότε αυτή η ευθεία είναι μοναδική.

Το Λήμμα 2 τώρα μας εξασφαλίζει το αντίστροφο του Λήμματος 1, δηλαδή το Λήμμα 3:

Έστω τρίγωνο και το αντιδιαμετρικό του . Μια ευθεία που διέρχεται από το , έτσι ώστε αν τέμνει τις , στα να ισχύει ότι , τέμνει την στο . Τότε η είναι εφαπτόμενη στον κύκλο.

Πίσω στο πρόβλημα:

Καθετότητα άνευ - προφανούς - λόγου 2.png (28.14 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Έχουμε το τρίγωνο και το αντιδιαμετρικό του στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Επομένως το κέντρο του κύκλου, έστω , είναι το μέσο της , από το οποίο διέρχεται όμως η ευθεία και από το παραλληλόγραμμο. Επομένως για το σημείο τομής της και , δηλαδή το , από το λήμμα 3 ισχύει η ιδιότητα να είναι η εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο κύκλο του , άρα αφού το κέντρο του βρίσκεται στην να ισχύει η ζητούμενη καθετότητα.

Edit: Προστέθηκαν τα σχήματα.

[min##]

Εναλλακτικά:Αν η κάθετη της στο τέμνει τις στα ,οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους(καθετότητα ακτινών),άρα ,και από ιδιότητες διπλών λόγων .Από το τελευταίο,οι δύο σημειοσειρές είναι αναγκαία προοπτικές και άρα η περνάει από το κλπ...

[vittasko]

Το έχουμε ξαναδεί και ως Ουράνια καθετότητα.

Για το πρόσθετο ερώτημα τώρα, αρκεί η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την να είναι παράλληλη προς την .

Αυτό προφανώς ( για πλάγιο παραλληλόγραμμο όπως ορίζεται στην εκφώνηση ) ισχύει στην περίπτωση όταν το είναι ρόμβος, όπου έχουμε .

Κώστας Βήττας.