Κατασκευή με κάθε μέσο

#1

: Σωστή και η κατασκευή_1.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε το μέτρο της γωνίας $\widehat A = \theta$ και ότι

η διάμεσος

τέμνει τη διχοτόμο

σε σημείο

για το οποίο:

$DS = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = v\,$ όπου $u\,\,,\,\,v\,\,$ δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα με v > u

Παρακάτω μια ειδική περίπτωση.

: Σωστή κατασκευή_κάνω και στροφή..png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

S.E.Louridas · #2

Νίκο είναι όμορφη κατασκευή, εκτός και αν υπάρχει πιό εύκολη αντιμετώπιση. Την επέλυσα με βάση το σχήμα που ακολουθεί και θα επανέρθω για την πλήρη λύση. Απλά αναφέρω ότι τελικά κατασκευάζω το τρίγωνο MFC

, όπου

είναι το μέσο της DC.

To

είναι η τομή της μεσοκάθετης $J\ell$ του

και του κύκλου d...

: dolor..png (115.26 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Επανέρχομαι λοιπόν για την πληρέστερη λύση στην «πάνω» ακριβώς στην υπόδειξη που έκανα για το ενδεχόμενο να ασχοληθούν και άλλοι λύτες:
Έστω

το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος DC.

Το μέσο αυτό είναι σταθερό. Έστω $MF\parallel AB,\;\,{\text{\mu \varepsilon }}\;\left\{ F \right\} \equiv ML \cap BC.$ Έτσι έχουμε $\angle LMC = \theta ,\;ct.$ και επειδή $LC = \frac{{u + v}}{2},\;ct,$ το σημείο

θα κινείται σε σταθερό κύκλο τον

Ισχύει ότι $\frac{{ML}}{{LF}} = 2\frac{{ML}}{{DB}} = 2\frac{{LS}}{{SD}} = 2\frac{{v - u}}{u},\;ct.$ Επομένως το σημείο

θα κινείται στον ομοιόθετο κύκλο

του κύκλου

με κέντρο ομοιοθεσίας

και λόγο $\frac{{ML}}{{MF}} = 2\frac{{v - u}}{u}.$ Έστω ότι ο

τέμνει την

στο

που είναι σταθερό αφού $\frac{{LC}}{{LQ}} = 2\frac{{v - u}}{u}.$ Είναι καθαρές οι σχέσεις στο σχήμα, οπότε FQ=FC.

Τελικά το σημείο

σταθεροποιείται ως τομή του κύκλου

με τη μεσοκάθετη $J\ell$ του ευθύγραμμου τμήματος QC.

Έτσι έχουμε τη κατασκευή του τριγώνου MFC

, άρα και του τριγώνου ABC.

edit: Αντικαταστάθηκε η σχέση FD=FC

(τυπογραφικό λάθος) από τη σωστή σχέση FQ=FC

που είναι το σωστό.

#3

Μόνο την κατασκευή (η αιτιολόγηση αύριο).

: Κατασκευή με κάθε μέσο.png (15.85 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Γράφω τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $\theta.$ Στο τμήμα

θεωρώ σημείο

ώστε $SK=\dfrac{v(v-u)}{2u}$ και υψώνω κάθετο που

τέμνει το τόξο στο

Η

τέμνει τη μεσοκάθετο της

στο

ενώ οι

τέμνονται στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

#4

Ας δούμε τώρα την πλήρη λύση.

Ανάλυση: Έστω ότι η

τέμνει την

στο

Από

έχουμε:

$\displaystyle \frac{{BD}}{{DA}} \cdot \frac{{AM}}{{MC}} \cdot \frac{{CE}}{{EB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{DA}} = \frac{{BE}}{{EC}} \Leftrightarrow DE||AC.$ Άρα, DE=EC,

οπότε το

είναι σημείο της μεσοκαθέτου του DC.

Αν

είναι οι προβολές των A, E

αντίστοιχα πάνω στην DC,

τότε επειδή το DECA

είναι τραπέζιο, τα τρίγωνα SAD, SEC

είναι ισεμβαδικά. Οπότε, $\displaystyle u \cdot AK = v \cdot EO \Leftrightarrow \frac{v}{u} = \frac{{AK}}{{EO}} = \frac{{SK}}{{SO}}.$ Αλλά, $\displaystyle SO = \frac{{u + v}}{2} - u = \frac{{v - u}}{2} \Rightarrow$

$\boxed{SK = \frac{{v(v - u)}}{{2u}}}$ Οδηγούμαστε έτσι, στην παρακάτω κατασκευή.

: Κατασκευή με κάθε μέσο.ΙΙ.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Κατασκευή: Γράφω τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $\theta.$ Στο τμήμα

θεωρώ σημείο

ώστε $SK=\dfrac{v(v-u)}{2u}$ και υψώνω

κάθετο που τέμνει το τόξο στο

Η

τέμνει τη μεσοκάθετο της

στο

ενώ οι

τέμνονται στο

Το

είναι

το ζητούμενο τρίγωνο.

Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την ανάλυση.

Διερεύνηση: Για να έχουμε λύση θα πρέπει το

να είναι εσωτερικό σημείο του DS.

Δηλαδή, $\displaystyle 0<SK < SD \Leftrightarrow \frac{{v(v - u)}}{{2u}} < u \Leftrightarrow {v^2} - vu - 2{u^2} < 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{u<v<2u}$

Κατασκευή με κάθε μέσο

Κατασκευή με κάθε μέσο

Re: Κατασκευή με κάθε μέσο

Re: Κατασκευή με κάθε μέσο

Re: Κατασκευή με κάθε μέσο

Μέλη σε σύνδεση