Από σταθερό σημείο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 07, 2018 9:20 pm

Από σταθερό  σημείο.png
Από σταθερό σημείο.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Ο κύκλος (K,r) εφάπτεται εσωτερικά του (O,R) , R<2r , σε σημείο S . Μεταβλητή διάμετρος AB

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία P,T , ενώ οι SP,ST τέμνουν τον μεγάλο στα L,N .

Α) Δείξτε ότι : LN\parallel AB και Β) Δείξτε ότι η LN διέρχεται από σταθερό σημείο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3820
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Από σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Νοέμ 07, 2018 9:47 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΟ κύκλος (K,r) εφάπτεται εσωτερικά του (O,R) , R<2r , σε σημείο S . Μεταβλητή διάμετρος AB

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία P,T , ενώ οι SP,ST τέμνουν τον μεγάλο στα L,N .

Α) Δείξτε ότι : LN\parallel AB και Β) Δείξτε ότι η LN διέρχεται από σταθερό σημείο .
Αν M\equiv SKO\cap LN και xSy η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων (με x στο ημιεπίπεδο \left( SO,A \right) τότε:

\angle STP\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta  - \upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma } \angle xSP \equiv \angle xSL \mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle SNL  \Rightarrow PT\parallel LN\mathop  \Rightarrow \limits^{PT \equiv AB} AB\parallel LN

Τα ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle KSP,\vartriangle OSL\mathop  \Rightarrow \limits^{O,K,S\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } \vartriangle KSP \sim \vartriangle OSL \Rightarrow KP\parallel OL

Από OP\parallel ML \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{SM}} = \dfrac{{SP}}{{SL}}\mathop  = \limits^{KP\parallel OL} \dfrac{{KP}}{{OL}} = \dfrac{r}{R} = ct \Rightarrow SM = \dfrac{{{R^2}}}{r} = ct \Rightarrow M σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10434
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 07, 2018 9:58 pm

Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων. Η γωνία που σχηματίζει με την χορδή LS ισούται με καθεμία από τις γωνίες \angle ATS, \angle LNS. Έπεται η ζητούμενη παραλληλία.

Επίσης η προέκταση της ευθείας SKO αριστερότερα του O τέμνει την LN σε σημείο, ας πούμε U έτσι ώστε US:OS ίσον το πηλίκο των ακτίνων διότι: εύκολα βλέπουμε από την προηγούμενη παραλληλία ότο US:OS=LS:PS= το πηλίκο των ακτίνων (το τελευταίο από την παραλληλία των LO, PK που βγαίνει από την ισότητα των επίκεντρων γωνιών \angle LOS=\angle PKS = 2\angle PTS) . Έτσι το U είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο επί την LN.

Edit: Με πρόλαβαν.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 08, 2018 10:26 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΟ κύκλος (K,r) εφάπτεται εσωτερικά του (O,R) , R<2r , σε σημείο S . Μεταβλητή διάμετρος AB

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία P,T , ενώ οι SP,ST τέμνουν τον μεγάλο στα L,N .

Α) Δείξτε ότι : LN\parallel AB και Β) Δείξτε ότι η LN διέρχεται από σταθερό σημείο .
Και μένα με πρόλαβαν προ πολλού ( δεν είχα αμφιβολία περί αυτού όταν έγραφα τη λύση για τα κιτάπια μου ) . Έχει όμως και ένα σχήμα που κάνει ελαφρώς πιο εύκολη την ανάγνωση και την ανεβάζω :

Φέρνω τη κοινή εξωτερική και λόγω της γωνίας που σχηματίζει με χορδές στο άκρο τους θα είναι \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Leftrightarrow \boxed{AB//LN}\,\,\,(2).
Απο σταθερό σημείο_KARKAR.png
Απο σταθερό σημείο_KARKAR.png (46.67 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές

Από την άλλη μεριά αφού οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}} \Leftrightarrow \boxed{KT//ON}\,\,(2) .

Η ευθεία της διακέντρου είναι σταθερή κι έστω G το σημείο τομής της με την LN. Θέτω OG = x και λόγω των παραλληλιών (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(2) θα έχω :

\dfrac{{KT}}{{ON}} = \dfrac{{ST}}{{SN}} = \dfrac{{SO}}{{SG}} \Rightarrow \dfrac{r}{R} = \dfrac{R}{{R + x}} \Rightarrow \boxed{x = R\frac{{R - r}}{r}} συνεπώς οι χορδές LN διέρχονται από το G.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες