Σελίδα 1 από 1

Μέγιστο γινομένου 11

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
από KARKAR
Μέγιστο  γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές
Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT

Re: Μέγιστο γινομένου 11

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT
Μέγιστο γινομένου 11.png
Μέγιστο γινομένου 11.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές
Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το T είναι στην προέκταση του OK και είναι \displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το P είναι μέσο του ST και \displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση S_1P_1T_1, είναι S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.
Μέγιστο γινομένου 11.β.png
Μέγιστο γινομένου 11.β.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές
Το τρίγωνο OT_1T είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος \displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}), άρα \displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow

\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12 Αλλά, \displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3

Re: Μέγιστο γινομένου 11

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 09, 2018 10:20 pm
από Doloros
george visvikis έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am
KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT
Μέγιστο γινομένου 11.png
Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το T είναι στην προέκταση του OK και είναι \displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το P είναι μέσο του ST και \displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση S_1P_1T_1, είναι S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.
Μέγιστο γινομένου 11.β.png
Το τρίγωνο OT_1T είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος \displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}), άρα \displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow

\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12 Αλλά, \displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3
:coolspeak: