Μέγιστο γινομένου 11

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινομένου 11

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm

Μέγιστο  γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινομένου 11

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT
Μέγιστο γινομένου 11.png
Μέγιστο γινομένου 11.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές
Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το T είναι στην προέκταση του OK και είναι \displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το P είναι μέσο του ST και \displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση S_1P_1T_1, είναι S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.
Μέγιστο γινομένου 11.β.png
Μέγιστο γινομένου 11.β.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές
Το τρίγωνο OT_1T είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος \displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}), άρα \displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow

\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12 Αλλά, \displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινομένου 11

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:20 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am
KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι (O,2) και (K,1) εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O) σε κινητό

σημείο του S , τέμνει τον (K) στα σημεία P,T . Υπολογίστε το μέγιστο του SP\cdot PT
Μέγιστο γινομένου 11.png
Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το T είναι στην προέκταση του OK και είναι \displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το P είναι μέσο του ST και \displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση S_1P_1T_1, είναι S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.
Μέγιστο γινομένου 11.β.png
Το τρίγωνο OT_1T είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος \displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}), άρα \displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow

\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12 Αλλά, \displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3
:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες