Σταθερό άθροισμα γινομένων

#1

: Σταθερό άθροισμα γινομένων.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Το

είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

και

είναι οι προβολές του στις

BC, AC, AB

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το $\displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD$ είναι σταθερό.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:45 am
Σταθερό άθροισμα γινομένων.png
Το είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς και είναι οι προβολές του στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το $\displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD$ είναι σταθερό.

Ας είναι

η ακτίνα του έγκυκλου,

η ακτίνα του περίκυκλου,

το κέντρο του τριγώνου και

η γωνία που σχηματίζει η

με την

. Τότε

$ME=\dfrac{2-sint+\sqrt{3}cost}{2},\,\,\, MF=\dfrac{2-sint-\sqrt{3}cost}{2},\,\,\,MD=1+sint$

και οι πράξεις δίνουν αποτέλεσμα 9/4

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:45 am
Σταθερό άθροισμα γινομένων.png
Το είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς και είναι οι προβολές του στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το $\displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD$ είναι σταθερό.

Για να μην μείνει μετέωρη η αφορμή εδώ...

Το τρίγωνο D E F

είναι το ποδικό του σημείου

. Αν

το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου και R,r

οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

, θα έχουμε d=MO=r

. Από την παραπάνω παραπομπή για τον λόγο των εμβαδών του ποδικού τριγώνου προς το εμβαδόν του ισόπλευρου έχουμε:

$\displaystyle \dfrac{S_{D E F}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4} \left |1-\dfrac{r^2}{R^2} \right | \Rightarrow S_{D E F}= \dfrac{1}{4} \left (1-\left (\dfrac{1}{2}\right )^2 \right )S_{ABC} \Rightarrow$

$\displaystyle \dfrac{1}{2} MD \cdot ME \cdot \sin 120^0 + \dfrac{1}{2} ME \cdot MF \cdot \sin 120^0 + \dfrac{1}{2} MF \cdot MD \cdot \sin 120^0 = \dfrac{3}{16} S_{ABC} \Rightarrow$

$\displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD = 2 \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3}{16}S_{ABC} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} S_{ABC} = const.$

Σταθερό άθροισμα γινομένων

Σταθερό άθροισμα γινομένων

Re: Σταθερό άθροισμα γινομένων

Re: Σταθερό άθροισμα γινομένων

Μέλη σε σύνδεση