mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2018 4:52 pm**

: Διχοτόμος παράλληλη σε διάκεντρο.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Τρίγωνο

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

. Έστω σημεία $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ των πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ για τα οποία BE = CZ

.

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου (A,E,Z)

. Δείξετε ότι η διάκεντρος

είναι παράλληλη στη διχοτόμος

του τριγώνου ABC

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2018 5:43 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 4:52 pm
Διχοτόμος παράλληλη σε διάκεντρο.png

Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω σημεία $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ των πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ για τα οποία .

Ας είναι το κέντρο του κύκλου . Δείξετε ότι η διάκεντρος είναι παράλληλη στη διχοτόμος του τριγώνου .

: Doloros.Nov.2018.png (25.52 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Οι μεσοκάθετοι των EZ, BC

τέμνονται στο

Τα τρίγωνα BEN, CZN

είναι προφανώς ίσα (Π-Π-Π), άρα οι μπλε γωνίες

καθώς και οι κόκκινες είναι ίσες, οπότε το

είναι κοινό σημείο των δύο κύκλων. Επειδή η

είναι διάμετρος $SA\bot AN$ , αλλά

και $OK\bot AN$ (η διάκεντρος είναι κάθετη στην κοινή χορδή). Επομένως $\boxed{OK||AD}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2018 10:43 pm**

: Dspar.png (71.13 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Με μικρές διαφορές...

Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα:

Στις πλευρές και ενός σκαληνού τριγώνου , θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία και .
Το σημείο $A_{1}$ είναι το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Να αποδείξετε ότι η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν τα σημεία , , $A_{1}$ , είναι ομοκυκλικά.

Απόδειξη λήμματος: Τα τρίγωνα $A_{1}BE$ και $A_{1}CZ$ είναι ίσα, εφόσον BE=CZ

, $A_{1}B=A_{1}C$ , και $\angle{ABA_{1}}=\angle{ACA_{1}}$ .
Οπότε $\angle{EA_{1}B}=\angle{ZA_{1}C}$ . Επομένως $\angle{EA_{1}Z}= \angle{EA_{1}B}+\angle{BA_{1}Z}=\angle{BA_{1}Z}+\angle{ZA_{1}C}=\angle{BA_{1}C}=\angle{BAC}$ .

Εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο.

Είναι προφανές ότι η διχοτόμος της γωνίας

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του $\triangle{ABC}$ στο σημείο

που είναι το μέσο του τόξου

που δεν περιέχει την κορυφή

, δηλαδή,

.
Επομένως, το $BA_{1}CS$ είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο

που είναι το μέσο της

, δηλαδή, η $A_{1}S$ διάμετρος του $\Omega$ .

Όμοια, το

είναι το μέσο του τόξου

του κύκλου $\omega$ , δηλαδή ET=ZT

.
Επομένως, το $EA_{1}ZT$ είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο

που είναι το μέσο της

, δηλαδή, η $A_{1}T$ διάμετρος του $\omega$ (από την απόδειξη του λήμματος,
προκύπτει ότι το $\triangle{EA_{1}Z}$ είναι ισοσκελές με τη γωνία της κορυφής του να ισούται με τη γωνία BAC

).

Από το τρίγωνο $A_{1}TS$ , είναι φανερό ότι $(KO) \parallel (TS)\equiv (AD)$ .

mathematica.gr

Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο