Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Ας είναι το κέντρο του κύκλου . Δείξετε ότι η διάκεντρος είναι παράλληλη στη διχοτόμος του τριγώνου .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Οι μεσοκάθετοι των τέμνονται στο Τα τρίγωνα είναι προφανώς ίσα (Π-Π-Π), άρα οι μπλε γωνίες
καθώς και οι κόκκινες είναι ίσες, οπότε το είναι κοινό σημείο των δύο κύκλων. Επειδή η είναι διάμετρος , αλλά
και (η διάκεντρος είναι κάθετη στην κοινή χορδή). Επομένως
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα:
Στις πλευρές και ενός σκαληνού τριγώνου , θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία και .
Το σημείο είναι το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Να αποδείξετε ότι η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.
Απόδειξη λήμματος: Τα τρίγωνα και είναι ίσα, εφόσον , , και .
Οπότε . Επομένως .
Εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο.
Είναι προφανές ότι η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο σημείο
που είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει την κορυφή , δηλαδή, .
Επομένως, το είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο
που είναι το μέσο της , δηλαδή, η διάμετρος του .
Όμοια, το είναι το μέσο του τόξου του κύκλου , δηλαδή .
Επομένως, το είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο
που είναι το μέσο της , δηλαδή, η διάμετρος του (από την απόδειξη του λήμματος,
προκύπτει ότι το είναι ισοσκελές με τη γωνία της κορυφής του να ισούται με τη γωνία ).
Από το τρίγωνο , είναι φανερό ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 14 επισκέπτες