Ταυτότητα σε τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Ταυτότητα σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Δεκ 11, 2018 12:42 am

GEOMETRIA219-FB2556.png
GEOMETRIA219-FB2556.png (43.52 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές
Εστω a', b', c' οι αποστάσεις, τυχαίου σημείου P του περίκυκλου τριγώνου ABC (εξαιρουμένων των κορυφών του A, B, C),

από τις αντίστοιχες πλευρές του a, b, c.

Δείξτε ότι : \dfrac{a}{a'}+\dfrac{b}{b'}+\dfrac{c}{c'}=2\cdot\max(\dfrac{a}{a'}, \dfrac{b}{b'}, \dfrac{c}{c'})


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1859
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ταυτότητα σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Δεκ 11, 2018 3:47 pm

sakis1963 έγραψε:
Τρί Δεκ 11, 2018 12:42 am
GEOMETRIA219-FB2556.png
Εστω a', b', c' οι αποστάσεις, τυχαίου σημείου P του περίκυκλου τριγώνου ABC (εξαιρουμένων των κορυφών του A, B, C),

από τις αντίστοιχες πλευρές του a, b, c.

Δείξτε ότι : \dfrac{a}{a'}+\dfrac{b}{b'}+\dfrac{c}{c'}=2\cdot\max(\dfrac{a}{a'}, \dfrac{b}{b'}, \dfrac{c}{c'})
Δουλεύουμε στο παρακάτω σχήμα και έχουμε

\displaystyle \vartriangle AP{B_1} \simeq PB{A_1}\left( {\angle {A_1} = \angle {B_1}} \right) \Rightarrow \frac{{B{A_1}}}{{a'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}}

\displaystyle \vartriangle AP{C_1} \simeq \vartriangle PC{A_1}(\angle PC{A_1} = \angle {C_1}AP) \Rightarrow \frac{{{A_1}C}}{{A{C_1}}} = \frac{{a'}}{{c'}}

\displaystyle \frac{a}{{a'}} = \frac{{B{A_1} + {A_1}C}}{{a'}} = \frac{{B{A_1}}}{{a'}} + \frac{{{A_1}C}}{{a'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}} + \frac{{A{C_1}}}{{c'}}

\displaystyle \frac{a}{{a'}} + \frac{c}{{c'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}} + \frac{{A{C_1}}}{{c'}} + \frac{c}{{c'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}} + \frac{{B{C_1}}}{{c'}}

Αλλά \displaystyle \vartriangle B{C_1}P \simeq \vartriangle C{B_1}P \Rightarrow \frac{{B{C_1}}}{{c'}} = \frac{{{B_1}C}}{{b'}} άρα

\displaystyle \frac{a}{{a'}} + \frac{c}{{c'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}} + \frac{{A{C_1}}}{{c'}} + \frac{c}{{c'}} = \frac{{A{B_1}}}{{b'}} + \frac{{{B_1}C}}{{b'}} = \frac{b}{{b'}}

Έτσι,\displaystyle \boxed{\frac{a}{{a'}} + \frac{b}{{b'}} + \frac{c}{{c'}} = 2\frac{b}{{b'}} = 2\max \left( {\frac{a}{{a'}},\frac{b}{{b'}},\frac{c}{{c'}}} \right)}

Το \displaystyle {\max \left( {\frac{a}{{a'}},\frac{b}{{b'}},\frac{c}{{c'}}} \right)} εξαρτάται από τη θέση του \displaystyle P στον κύκλο
ταυτότητα σε τρίγωνο.png
ταυτότητα σε τρίγωνο.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες