Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 16, 2018 7:56 pm

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png
Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png (13.71 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές
Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R . Σημείο S κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο D.

Σημείο C του τμήματος DS είναι τέτοιο ώστε: DC = kDS\,\,, όπου k σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο C επί την BC τέμνει την ευθεία AS στο σημείο L.

Βρείτε το μέγιστο του (SBL) .

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 17, 2018 12:11 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:56 pm
Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R . Σημείο S κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο D.

Σημείο C του τμήματος DS είναι τέτοιο ώστε: DC = kDS\,\,, όπου k σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο C επί την BC τέμνει την ευθεία AS στο σημείο L.

Βρείτε το μέγιστο του (SBL) .

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"

Λόγω του εγγράψιμου \displaystyle CSLB οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, άρα \displaystyle \vartriangle CDB \simeq \vartriangle BSL \Rightarrow \frac{{SL}}{{CD}} = \frac{{SB}}{{DB}}

Έτσι \displaystyle SL \cdot SB = \frac{{S{B^2}}}{{DB}} \cdot CD \Rightarrow 2\left( {SBL} \right) = \frac{{DB \cdot 2R}}{{DB}} \cdot kDS \Rightarrow \left( {SBL} \right) = \left( {kR} \right)DS

\displaystyle \left( {SBL} \right) γίνεται μέγιστο,όταν το \displaystyle DS γίνει μέγιστο,δηλαδή όταν \displaystyle DS = R.Τότε, \displaystyle \boxed{{{\left( {SBL} \right)}_{\max }} = k{R^2}}
M.E.T.png
M.E.T.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9440
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 17, 2018 1:38 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:56 pm
Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R . Σημείο S κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο D.

Σημείο C του τμήματος DS είναι τέτοιο ώστε: DC = kDS\,\,, όπου k σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο C επί την BC τέμνει την ευθεία AS στο σημείο L.

Βρείτε το μέγιστο του (SBL) .

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"
Παραπλήσιο.
Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.D.png
Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.D.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
\displaystyle DE \cdot DB = DC \cdot DS = kD{S^2} \Leftrightarrow \boxed{DE = \frac{{kD{S^2}}}{{DB}}} (1)

\displaystyle \frac{{AS}}{{SL}} = \frac{{AD}}{{DE}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {AD} \sqrt {2R} }}{{SL}} = \frac{{AD}}{{DE}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{SL = \frac{{kD{S^2}\sqrt {2R} }}{{DB\sqrt {AD} }}} (2)

\displaystyle (SBL) = \frac{1}{2}SL \cdot SB\mathop  = \limits^{(2)} \frac{1}{2} \cdot \frac{{kD{S^2}\sqrt {2R} }}{{DB\sqrt {AD} }} \cdot \sqrt {2R} \sqrt {DB}  = \frac{{kR \cdot D{S^2}}}{{\sqrt {AD \cdot DB} }} = kR \cdot DS \le k{R^2},

με το μέγιστο να επιτυγχάνεται όταν το S γίνει μέσο του ημικυκλίου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης