Καρνοτική επιστροφή

KARKAR · #1

: Καρνοτική επιστροφή.png (7.3 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό οξυγωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ονομάζουμε P,Q,T

τις προβολές του

στις πλευρές BC,CA,AB

αντίστοιχα . Κατά το θεώρημα είναι : BP^2+CQ^2+AT^2=....

α) Δείξτε ότι αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , τότε το BP+CQ+AT

είναι σταθερό .

β) Στο τυχαίο τρίγωνο βρείτε το

, για το οποίο το BP^2+CQ^2+AT^2

ελαχιστοποιείται .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 25, 2018 8:21 pm
Σημείο κινείται στο εσωτερικό οξυγωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ονομάζουμε τις προβολές του

στις πλευρές αντίστοιχα . Κατά το θεώρημα είναι :

α) Δείξτε ότι αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , τότε το είναι σταθερό .

β) Στο τυχαίο τρίγωνο βρείτε το , για το οποίο το ελαχιστοποιείται .

.
Το Θεώρημα Carnot λέει BP^2+CQ^2+AT^2=PC^2+QA^2+TB^2

.

α) Άρα σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

μεταφέροντας το δεξί μέλος, αριστερά και παίρνοντας διαφορά τετραγώνων έχουμε

$\displaystyle{0 = (BP-PC) a + (CQ-QA)a+ (AT-TB)a}$ οπότε $\displaystyle{BP +CQ+AT = PC+QA+TB}$ και άρα το καθένα 3a/2

αφού έχουν άθροισμα

.

β) Αν θέσουμε BP=x, CQ=y, AT=z

το Carnot γράφεται x^2+y^2+z^2=(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2

, ισοδύναμα a^2+b^2+c^2=2ax+2by+2cz

.

Άρα

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2=2ax+2by+2cz \le 2 \sqrt {a^2+b^2+c^2} \sqrt {x^2+y^2+z^2}}$ , δηλαδή $\displaystyle{a^2+b^2+c^2} \le 4(x^2+y^2+z^2)}}$ με ισότητα αν και μόνον αν x=a/2, y=b/2, z=c/2

. Που σημαίνει ότι το ελάχιστο λαμβάνεται όταν οι προβολές του

είναι τα μέσα των πλευρών και άρα

το περίκεντρο.

Καρνοτική επιστροφή

Καρνοτική επιστροφή

Re: Καρνοτική επιστροφή

Μέλη σε σύνδεση