Αλλόκοτη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει

τη διχοτόμο

στο σημείο

. Αν

, υπολογίστε την $\tan{B}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει

τη διχοτόμο στο σημείο . Αν , υπολογίστε την $\tan{B}$ .

Χρόνια Πολλά!

: Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

$\displaystyle D{C^2} = {b^2} + A{D^2} = {b^2} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = {b^2}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab + {c^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) = \frac{{2a{b^2}(a + b)}}{{{{(a + b)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{D{C^2} = \frac{{2a{b^2}}}{{a + b}}}$ (1)

Νόμος ημιτόνων στο BSC:

$\displaystyle \frac{{BS}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \frac{a}{{\sin 135^\circ }} \Leftrightarrow BS = a\sqrt 2 \sin \frac{C}{2} = a\sqrt 2 \frac{{AD}}{{DC}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{BS = DC} D{C^2} = a\sqrt 2 \frac{{bc}}{{a + b}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle \frac{{2a{b^2}}}{{a + b}} = \frac{{abc\sqrt 2 }}{{a + b}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt 2}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει

τη διχοτόμο στο σημείο . Αν , υπολογίστε την $\tan{B}$ .

Χρόνια πολλά σε όλους . Με το καλό το νέο έτος .

Φέρνω τη μεσοκάθετο στο

που , ως γνωστό,διέρχεται από το κέντρο

του ημικυκλίου και συντρέχει στο μέσο

του τόξου

με τη διχοτόμο

.

Ας είναι δε

το σημείο τομής της με την (διχοτόμο )

. Θέτω $TB = TA = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NA = NB = u$ .

: Αλλόκοτη εφαπτομένη_ok.png (58.55 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Προφανώς τα τρίγωνα : $NBS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBA$ είναι ισοσκελή ορθογώνια και αφού

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο ) και $\widehat {{\theta _2}} + \widehat \omega = \widehat {{\theta _3}} + \widehat \omega = 45^\circ \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}$

Δηλαδή , $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}}$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TSB$ έχουν επίσης υποτείνουσες ίσες , άρα είναι ίσα και επομένως θα έχουν $AC = TB = TA \Rightarrow \boxed{m = b}$

Αφού δε $AB = TB\sqrt 2 \Rightarrow c = b\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει

τη διχοτόμο στο σημείο . Αν , υπολογίστε την $\tan{B}$ .

Καλή χρονιά σε όλους..

Είναι $\displaystyle \angle BSC = {135^0} \Rightarrow \angle DSB = {45^0}$

Με $\displaystyle BT \bot AS \Rightarrow BT = \frac{{c\sqrt 2 }}{2}$ και $\displaystyle x = y = {45^0} + \frac{B}{2}$

Έτσι, $\displaystyle \vartriangle ADC = \vartriangle BST \Rightarrow BT = b \Rightarrow \frac{{c\sqrt 2 }}{2} = b \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

: Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει

τη διχοτόμο στο σημείο . Αν , υπολογίστε την $\tan{B}$ .

Εστω το παραλληλόγραμμο NSBD

Τότε $\hat{DCB}=\omega =\hat{ACD}=\hat{KSG}=\hat{SGD},$

Το τετράπλευρο $A\Pi SD$ είναι εγράψιμο σε κύκλο,γιατί $\hat{S\Pi D}=\omega +\phi =45=\hat{\Pi AS},$
Οπότε $\hat{GSA}=\hat{\Pi DG}=\phi =\hat{SBA}$
Τα τρίγωνα AGS,CSB

είναι όμοια $\dfrac{GS}{a}=\dfrac{AS}{SB}=\dfrac{AG}{CS}\Rightarrow CS.CD=a.AS,(1)$

Aπο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $CSB,\dfrac{CS}{a}=\dfrac{SD}{DB}=\dfrac{CD}{a+DB}, CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}=\dfrac{2ab^{2}}{a+b},(2), CS=\dfrac{a.CD}{a+DB}\Rightarrow CS=\dfrac{(a+b)b\sqrt{2a}}{(a+b+c)\sqrt{a+b}},(3), AS=\rho \sqrt{2}\Rightarrow AS=\dfrac{bc\sqrt{2}}{a+b+c},(4), (1),(2),(3),(4)\Rightarrow 2b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow tanC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Γιάννης

Αλλόκοτη εφαπτομένη

Αλλόκοτη εφαπτομένη

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση