Κάθετη στη διχοτόμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10236
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κάθετη στη διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 10, 2019 10:42 pm

Κάθετη  στη  διχοτόμο.png
Κάθετη στη διχοτόμο.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Η απόσταση σημείου S από το κέντρο του κύκλου (O,r) , ισούται με 2r .

Να αχθεί τέμνουσα SAB του κύκλου , ώστε αν η OD είναι η διχοτόμος

της γωνίας \widehat{SOA} , η OB να είναι κάθετη προς την OD .



Λέξεις Κλειδιά:
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2011
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιαν 11, 2019 1:00 am

\bullet Έστω ότι έχει κατασκευαστεί η ζητούμενη διατέμνουσα SAB του κύκλου (O) και ισχύει OB\perp OD, όπου OD είναι η διχοτόμος της γωνίας \angle AOS.

Στο τρίγωνο \vartriangle OAS έχουμε \displaystyle \frac{DA}{DS} = \frac{OA}{OS} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(1)

Η σημειοσειρά S,\ D,\ A,\ B είναι αρμονική ( προφανές ) και άρα έχουμε \displaystyle \frac{BA}{BS} = \frac{DA}{DS} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow \displaystyle \frac{SD}{DB} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(3)
f 178_t 63583.PNG
Κάθετη στην διχοτόμο.
f 178_t 63583.PNG (22.84 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
\bullet Η δια του σημείου B παράλληλη ευθεία προς την OD τέμνει την ευθεία SO στο σημείο έστω E και ισχύει \displaystyle \frac{SO}{OE} = \frac{SD}{DB} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(4)

Από (4) προκύπτει ότι το σημείο E είναι σταθερό σημείο επί της ευθείας SO και έτσι, το σημείο B προσδιορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου (O) από τον κύκλο έστω (K) με διάμετρο το σταθερό τμήμα OE = 4R , όπου R είναι η ακτίνα του δοσμένου κύκλου (O) και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ο κύκλος (K) επανατέμνει τον κύκλο (O) στο σημείο έστω B', ως την δεύτερη λύση του προβλήματος ( προφανές ).
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Ιαν 11, 2019 9:42 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 912
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 11, 2019 2:53 am

Καλημέρα σε όλους. Μετά την ωραία(!) λύση του Κώστα μια προσπάθεια μάλλον υπολογιστική
Κάθετη στη διχοτόμο.PNG
Κάθετη στη διχοτόμο.PNG (10.92 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Στο σχήμα επί της ON παίρνουμε OK=r/4 . Η κάθετη προς την MN στο K τέμνει τον κύκλο στις ζητούμενες (συμμετρικές) θέσεις B και B'.
Προτίθεμαι βεβαίως να επανέλθω για την δέουσα αιτιολόγηση..

...Επανέρχομαι για την απόδειξη της OK=r/4. Είναι OB=OA=r και OS=2r

Στο τρίγωνο AOS οι OD,OB είναι εσ. και εξ. διχοτόμοι οπότε με τα θ. διχοτόμων προκύπτει BS=2BA δηλ η OA είναι διάμεσος ,

άρα από θ. διαμέσων παίρνουμε BS^{2}=2\left ( OB^{2}+OS^{2} \right ) -4OA^{2} \Rightarrow BS^{2}=6r^{2}

Η \widehat{BOS} είναι αμβλεία και με το Γ.Π.Θ παίρνουμε BS^{2}=OB^{2}+OS^{2}+2OS\cdot OK 
. Έτσι 6r^{2}=r^{2}+4r^{2}+4r\cdot OK\Rightarrow \boxed{OK=\dfrac{r}{4}}
Εκ των υστέρων (βλέποντας και τις λύσεις των φίλων Νίκου και Γιάννη) μια συντομότερη , ως προς τους υπολογισμούς κατασκευή:
Από την BS^{2}=6r^{2}\Rightarrow BS=r\sqrt{6} συνεπώς τα B,B' είναι οι τομές του κύκλου \left ( S,r\sqrt{6} \right ) με τον αρχικό κύκλο.
Κάθετη στη διχοτόμο 2 .PNG
Κάθετη στη διχοτόμο 2 .PNG (12.67 KiB) Προβλήθηκε 37 φορές
Φιλικά , Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Σάβ Ιαν 12, 2019 1:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6147
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 3:28 am

Κατασκευή:

(Από μετρική λύση )

Γράφω το κύκλο \left( {S,\dfrac{{r\sqrt 6 }}{2}} \right) που τέμνει τον (O,r) σε δύο σημεία . Έστω, A το ένα εξ αυτών. Η ευθεία SA τέμνει ακόμα τον δοθέντα κύκλο στο B .
κάθετη στη διχοτόμο_1.png
κάθετη στη διχοτόμο_1.png (27.56 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Απόδειξη:

Φέρνω τη διχοτόμο OD του τριγώνου OSA. Επειδή OS = 2r = 2OA αν θέσω DA = 2k\,\,,\,\,k > 0 θα είναι DS = 4k και έτσι SA = 6k.

Αλλά SA = \dfrac{{r\sqrt 6 }}{2} οπότε \boxed{SA = 6k = \frac{{r\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow r = \dfrac{{12k}}{{\sqrt 6 }}} (1).

Από τη δύναμη του σημείου S ως προς τον κύκλο (O,r) έχω :

SA(SA + SB) = S{O^2} - {r^2} και αφού SO = 2r και λόγω της (1) έχω \boxed{SB = 6k = SA}.

Μα τώρα \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{OA}}{{OS}} = \frac{r}{{2r}} = \frac{1}{2} \hfill \\ 
  \frac{{BA}}{{BS}} = \frac{{6k}}{{12k}} = \frac{1}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{OA}}{{OS}} = \frac{{BA}}{{BS}}} δηλαδή η OB είναι η εξωτερική διχοτόμος

στο \vartriangle OAS άρα κάθετη στην εσωτερική OA.

2ος τρόπος



Κατασκευή:


κάθετη στη διχοτόμο_2.png
κάθετη στη διχοτόμο_2.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Γράφω το κύκλο του Απολλώνιου για τον οποίο και για κάθε σημείο του P ισχύει :

\boxed{\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{1}{2}}.

Ο κύκλος αυτός τέμνει το δεδομένο σε δυο σημεία κι έστω A το ένα απ’ αυτά .

Η SA είναι η τέμνουσα που θέλουμε

Η απόδειξη σαν άσκηση ( αλλά είμαι και στη διάθεση του καθενός)


Altrian
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιαν 11, 2019 9:43 am

Καλημέρα σε όλους.

Εστω AD=x. Τότε DS=2x. Επίσης \large \frac{DS}{DB}=\frac{1}{2}\Rightarrow DB=2DS=4x\Rightarrow BA=3x=AS
Δηλαδή το \large A είναι το μέσο της \large BS δηλαδή \large AM=\frac{BO}{2}=\frac{r}{2}.
Οπότε το ζητούμενο σημείο \large A είναι η (μία) τομή των κύκλων \large (O,r)\cap (M,\frac{r}{2})

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
katheth_sth_dihotomo.png
katheth_sth_dihotomo.png (27.55 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10236
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 11, 2019 10:41 am

Γεια σου Αλέξανδρε :clap2:

Μάλιστα θα μπορούσαμε να το απλουστεύσουμε περαιτέρω , με τη παρατήρηση

ότι αφού η OB είναι εξωτερική διχοτόμος , τότε \dfrac{BA}{BS}=\dfrac{1}{2} ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 11, 2019 10:53 am

Μόνο την κατασκευή. [attachment=0]Κάθετη στη διχοτόμο..png[/attachment]
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα ST και έστω N το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου ST. Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο (S, SN) προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο A.
Συνημμένα
Κάθετη στη διχοτόμο..png
Κάθετη στη διχοτόμο..png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6147
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 12:00 pm

Μου άρεσαν πολύ όλες οι κατασκευές:

Η λύση του Κώστα αναμενόμενη αφού είναι λάτρης της αρμονικότητας .

Η λύση του Γιώργου του Μίτσιου απλή σαν κατασκευή. Εν αναμονή το σκεφτικό.

Η λύση του Αλέξανδρου (απλή ομοιοθεσία) είναι προφανώς η απλούστερη.

Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη : απρόβλεπτη. Θα τη μελετήσω Γιώργο όχι τόσο στο μετρικό μέρος, όσο στη φιλοσοφία κατασκευής .

Για το θεματοδότη τα έχουμε πει πολλές φορές : Ανεξάντλητη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1738
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιαν 11, 2019 12:29 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 10:42 pm
Κάθετη στη διχοτόμο.pngΗ απόσταση σημείου S από το κέντρο του κύκλου (O,r) , ισούται με 2r .

Να αχθεί τέμνουσα SAB του κύκλου , ώστε αν η OD είναι η διχοτόμος

της γωνίας \widehat{SOA} , η OB να είναι κάθετη προς την OD .
Καλημέρα

Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο AOS,\dfrac{AS}{r}=\dfrac{DS}{2r}=\dfrac{DS}{3r}\Rightarrow AD=\dfrac{x}{3},AS=x,DS=\dfrac{2x}{3}

Η καθετότητα στη διχοτόμο δημιουργεί την διχοτόμο στην εξωτερική γωνία άρα
\dfrac{BA}{BS}=\dfrac{DA}{DS}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BA=x=AS

και απο το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο OBS,3r^{2}=2r^{2}+\dfrac{4x^{2}}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}=3r^{2}\Leftrightarrow x^{2}=3r.\dfrac{r}{2},(*)



Γιάννης

Η κατασκευη αργότερα

Κατασκευάζουμε τον κύκλο (I,\dfrac{7r}{4})

και το κύκλο (O,r) η τομή τους ορίζει το σημείο T
Και το H
τότε είναι \hat{CTG}=90^{0},OT^{2}=CO.OG\Leftrightarrow OT^{2}=3r.\dfrac{r}{2},OT=x
Συνημμένα
Καθετη στη διχοτόμο -κατασκευη.png
Καθετη στη διχοτόμο -κατασκευη.png (58.53 KiB) Προβλήθηκε 30 φορές
Κάθετη στη διχοτόμο.png
Κάθετη στη διχοτόμο.png (63.85 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Σάβ Ιαν 12, 2019 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6147
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 12:35 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 10:53 am
Μόνο την κατασκευή. Κάθετη στη διχοτόμο..png
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα ST και έστω N το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου ST. Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο (S, SN) προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο A.
Τα εργαλεία έσωσαν το σχήμα.
κάθετη στη διχοτόμο_Bisbikis.png
κάθετη στη διχοτόμο_Bisbikis.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Επειδή κάθε αντιστροφή κύκλου με πόλο έξω απ’ αυτόν δίδει ομοιόθετο κύκλο εδώ:

Αντιστρέφω το δεδομένο κύκλο (O,r) με πόλο το S και δύναμη αντιστροφής

{k^2} = S{N^2} και προκύπτει ο κύκλος \left( {M,\dfrac{r}{2}} \right) δηλαδή η λύση του Αλέξανδρου!!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7473
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 11, 2019 12:37 pm

Να παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για OS=d και ανάγεται στην

κατασκευή τέμνουσας SAB ώστε \displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{d - r}}{d}
Κάθετη στη διχοτόμο.β.png
Κάθετη στη διχοτόμο.β.png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6147
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 4:12 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 12:37 pm
Να παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για OS=d και ανάγεται στην

κατασκευή τέμνουσας SAB ώστε \displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{d - r}}{d}

Κάθετη στη διχοτόμο.β.png
κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση.png
κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση.png (19.67 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές

Αν τώρα MS = s επειδή στο ισοσκελές \vartriangle OAM ο φορέας της διχοτόμου από το O είναι κάθετος στηνAM θα είναι AM//OB.

Έτσι \dfrac{{AM}}{{OB}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow \boxed{AM = \frac{{rs}}{{r + s}}}

Συνεπώς ο ομοιόθετος κύκλος \left( {M,\dfrac{s}{{r + s}} \cdot r} \right) τέμνει τον αρχικό στο ζητούμενο σημείο A

Και για να «ευλογήσουμε τα γένια μας».
κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση_new.png
κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση_new.png (22.46 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές

Γράφω τον κύκλο του Απολλώνιου που για κάθε σημείο P ισχύει :\boxed{\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{s}{{r + s}}}

Ο κύκλος αυτός τέμνει το ένα αρχικό ημικύκλιο( με φορέα της διαμέτρου του την ακτίνα OM) στο σημείο A. Η τέμνουσα που ζητάμε είναι η SA.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες