Tσαχπίνικο τρίγωνο

#1

Ένα τρίγωνο ονομάζεται "τσαχπίνικο" όταν το ύψος από μία κορυφή, η διχοτόμος από μία άλλη και η διάμεσος από την τρίτη

κορυφή συντρέχουν. Σε ένα τρίγωνο ABC

είναι $\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11}}{2}$ και $\displaystyle \cos B = \frac{3}{4}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι "τσαχπίνικο".

#2

Το τρίγωνο είναι όμοιο προς τον εαυτό του

$\boxed{a > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = \frac{a}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = \frac{a}{3}\sqrt {\frac{{11}}{2}} }$

Τότε το ύψος από το

η διχοτόμος από το

και η διάμεσος από το

συντρέχουν

Με θ. Ceva

τεκμηριώνεται.

Απόδειξη

Ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} \cos B = \frac{3}{4} \hfill \\ {b^2} = 5,5{c^2} \hfill \\ \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos B = \frac{3}{4} \hfill \\ {b^2} = 5,5{c^2} \hfill \\ {a^2} + {c^2} - {b^2} = 1,5ac \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή η τρίτη σχέση είναι ομογενής ως προς τις μεταβλητές , θέτω $a = cx\,\,\,,x > 0$ κι έχω:

$2{x^2} - 3x - 9 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 3}$

Δηλαδή το τρίγωνο έχει πλευρές :

$\boxed{a = 3c,\,\,b = c\sqrt {\frac{{11}}{2}} \,\,\,,\,\,\,c > 0}$

δ\Δηλαδή παραμένει όμοιο συνεχώς για κάθε μεταβολή του

: τσακπινιές.png (21.13 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Επειδή ${a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow 9{c^2} = \dfrac{{11}}{2}{c^2} + {c^2} \Leftrightarrow 18 > 13$ (αληθές) θα είναι $\boxed{A > 90^\circ }$

Συνεπώς και αφού διάμεσος και διχοτόμος από διαφορετικές κορυφές τριγώνου τέμνονται πάντα μέσα στο τρίγωνο αναγκαστικά το ύψος θα είναι από το

.

Προφανές δε αφού b > c

η διάμεσος θα είναι από το

.

Για ευκολία πράξεων θέτω $c = 4u\,,\,\,u > 0$ και υπολογίζω τα τμήματα που προκύπτουν από το ύψος

, τη διχοτόμο $BD\,\,$ και τη διάμεσο

.

$\left\{ \begin{gathered} BC = 12u\,\,\kappa \alpha \iota \,AC = 2u\sqrt {11} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AM = MB = 2u \hfill \\ BK = c \cdot \cos B = 3u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KC = 9u \hfill \\ AD = \frac{{2k\sqrt {11} \cdot 4u}}{{16u}} = \frac{{2u\sqrt {11} }}{3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 2u\sqrt {11} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Έτσι: $\boxed{\frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BK}}{{KC}} \cdot \frac{{CD}}{{DA}} = \frac{{2u}}{{2u}} \cdot \frac{{3u}}{{9u}} \cdot \frac{{3u}}{u} = \frac{{18}}{{18}} = 1}$

δείτε ακόμη ότι οι AB,KD

είναι παράλληλες και από γνωστή πρόταση των τραπεζίων , η ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεων διέρχεται απο το σημείο τομής των διαγωνίων του

Tσαχπίνικο τρίγωνο

Tσαχπίνικο τρίγωνο

Re: Tσαχπίνικο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση