Σελίδα 1 από 1

Πολλά μέσα και καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
από Doloros
Πολλά μέσα.png
Πολλά μέσα.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 20, 2019 12:27 pm
από george visvikis
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN γέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Έστω T, S τα σημεία τομής των EM, EN με τις AB, AC αντίστοιχα και H το σημείο τομής των TS, AE.
Μέσα και καθετότητα.png
Μέσα και καθετότητα.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
\displaystyle A{D^2} = BD \cdot DC = 2MD \cdot 2DN = 4MD \cdot DN \Leftrightarrow MD \cdot DN = \frac{{A{D^2}}}{4} = D{E^2}

Άρα M\widehat EN=90^\circ, το τετράπλευρο ATES είναι εγγράψιμο και προφανώς τα τρίγωνα ABC, EMN είναι όμοια.

Οπότε, E\widehat AT=A\widehat ET, E\widehat AS=A\widehat ES και η TS είναι μεσοκάθετη του AE, δηλαδή AD=4HD.

Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN. Αλλά, N, K είναι τα μέσα

των CD, PQ, άρα το Z είναι μέσο του HS, τα σημεία N, Q, H είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 20, 2019 2:00 pm
από vittasko
george visvikis έγραψε:...Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN.
Εδώ νομίζω είναι όλα τα λεφτά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 21, 2019 11:34 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Για να χαιρετήσω την καταπληκτική γεωμετρική παρέα…!!!!
Πολλά μέσα και καθετότητα.png
Πολλά μέσα και καθετότητα.png (28.38 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Με K το μέσο της PQ και ND\parallel PQ προκύπτει ότι η δέσμη N.PKQD είναι αρμονική άρα και η σειρά \left( E,A,S,D \right), με S\equiv NQ\cap AD , άρα \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{SD}{SA}\overset{AD=2ED}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{3}\Rightarrow S το μέσο του DL με L το μέσο του AD . Τότε όμως στο τρίγωνο \vartriangle DLC θα είναι NQ\equiv SN\parallel CL:\left( 1 \right) (ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του). Με CL\bot AM (ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDA (με κάθετες τις πλευρές τους μια προς μια) από την \left( 1 \right) προκύπτει ότι και \boxed{NQ \bot AM} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 21, 2019 11:56 pm
από Doloros
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 21, 2019 11:34 pm
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Για να χαιρετήσω την καταπληκτική γεωμετρική παρέα…!!!!
Πολλά μέσα και καθετότητα.png
Με K το μέσο της PQ και ND\parallel PQ προκύπτει ότι η δέσμη N.PKQD είναι αρμονική άρα και η σειρά \left( E,A,S,D \right), με S\equiv NQ\cap AD , άρα \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{SD}{SA}\overset{AD=2ED}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{3}\Rightarrow S το μέσο του DL με L το μέσο του AD . Τότε όμως στο τρίγωνο \vartriangle DLC θα είναι NQ\equiv SN\parallel CL:\left( 1 \right) (ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του). Με CL\bot AM (ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDA (με κάθετες τις πλευρές τους μια προς μια) από την \left( 1 \right) προκύπτει ότι και \boxed{NQ \bot AM} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης
1) Άριστη λύση από το Γιώργο :clap2:

2) Να χαιρετήσω το Κώστα που στοχεύει πάντα σωστά.

3) Να αποδώσω τα εύσημα :clap2: στον εκπληκτικό Στάθη . Αυτή τη λύση περίμενα γιατί μ αυτό το σκεφτικό έφτιαξα την άσκηση.

.