Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την .
Συγκρίνατε τώρα την με το .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Θανάση καλησπέρα από Γρεβενά...
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Χωρίς να στερείται γενικότητας το θέμα μας θεωρούμε ότι:
Ακόμα είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι:
κι ακόμα:
Επομένως:
Ακόμα θα είναι:
Εξάλλου από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο προκύπτει:
Από την (6) υψώνοντας στο τετράγωνο και από την ιδιότητα των ίσων κλασμάτων, προκύπτει:
Από την (7) εξισώνοντας το πρώτο κλάσμα με την τελική τιμή προκύπτει η εξίσωση:
Λύνοντας την (8) και λαμβάνοντας τη θετική λύση προκύπτει:
Με την τιμή αυτή κατασκευάζεται το σχήμα γιατί το τμήμα που ορίζεται από την (9) κατασκευάζεται.
Από την τιμή αυτή και από την (5) βρίσκεται ότι:
Τέλος από τις (9) και (10) προκύπτει ότι:
Από τις (10), (11) και (4) προκύπτει ότι:
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Και μια άλλη ιδέα πιο γεωμετρική .... και πιο ...σύντομη...
Σύμφωνα με κάποια στοιχεία της προηγούμενης λύσης
αν φέρουμε την , η οποία θα είναι η εφαπτομένη
της γωνίας , συγκρίνοντας τα τρίγωνα:
και
εύκολα δείχνονται ότι αυτά είναι ίσα.
Άρα:
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Επειδή θα είναι . Αλλά η γωνία είναι ίσηε με κάθε εγγεγραμμένη στο τόξο χορδής και άρα η επίκεντρη .
Δηλαδή οι ευθείες τέμνονται κάθετα . Αν η τμηθούν στο
το είναι το ορθόκεντρο του και αφού διχοτόμος της η είναι μεσοκάθετος στο και το είναι ισοσκελές.
Θα είναι προφανώς :
Από την πιο πάνω ομοιότητα έχω:
Άρα για την κατασκευή αρκεί να διαιρεθεί ( από το ) η ακτίνα σε μέσο κι άκρο λόγο
και από το να φέρω παράλληλη στην που τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο .
Έχω δε :
Δηλαδή οι ευθείες τέμνονται κάθετα . Αν η τμηθούν στο
το είναι το ορθόκεντρο του και αφού διχοτόμος της η είναι μεσοκάθετος στο και το είναι ισοσκελές.
Θα είναι προφανώς :
Από την πιο πάνω ομοιότητα έχω:
Άρα για την κατασκευή αρκεί να διαιρεθεί ( από το ) η ακτίνα σε μέσο κι άκρο λόγο
και από το να φέρω παράλληλη στην που τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο .
Έχω δε :
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Από την ανακάλυψη του διμήνου έχει αποδειχθεί ότι (όπου )
Γράφω λοιπόν τον κύκλο και φέρνω από το την εφαπτομένη του που τέμνει την ακτίνα στο ζητούμενο σημείο
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο
Για τις γωνίες είναι
Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο
Το τετράπλευρο είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα
Απο μετρικές σχέσεις στο τριγωνο
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (103.17 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες