Το τέταρτο τμήμα 3

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10855
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το τέταρτο τμήμα 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 17, 2019 9:18 pm

Το   τέταρτο  τμήμα.png
Το τέταρτο τμήμα.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
Το ύψος AD χωρίζει τη βάση BC τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα με λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .

Στην προέκταση της CB , θεωρούμε σημείο E , ώστε BE=BC και γράφουμε

τον κύκλο (A , D , E  ) , τον οποίο η προέκταση της AB τέμνει στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι : \widehat{ACS}=\hat{B} ... β) Αν επιπλέον είναι CA=CS , υπολογίστε το τμήμα AS .



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Φεβ 17, 2019 10:45 pm

Αρκεί ABS,ASC όμοια τρίτγωνα δηλαδή αρκεί \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AS}\Leftrightarrow AC^{2}=AB\cdot AC
AB=b άρα cos\widehat{B}=\frac{t}{b}\kappa \alpha \iota AD^{2}=b^{2}-t^{2}\alpha \rho \alpha AC^{2}=b^{2}+3t^{2} ΌΠΟΥ \widehat{B} η γωνία Β του αρχικού τριγώνου. Από το εγγράψιμο ADSE παίρνουμε \widehat{ADE}=\widehat{ASE}=90^{\circ}
και επείσης έχουμε \widehat{EBS}=\widehat{B}\Rightarrow cos\widehat{B}=\frac{BS}{EB}\Rightarrow BS=3\frac{t^{2}}{b} τώρα έχουμε AB\cdot AS=b(\frac{3t^{2}}{b}+b)=3t^{2}+b^{2}=AC^{2}.

Για το β από την ομοιότητα των τριγώνων ABS,ASC έχουμε AB=BC\Leftrightarrow b=3t άρα AS=AB+BS=\frac{3t^{2}}{b}+b=4t
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Κυρ Φεβ 17, 2019 11:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6727
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 17, 2019 11:31 pm

α) Αρκεί να δείξω ότι \vartriangle ABC \approx \vartriangle ACS \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AS}} \Leftrightarrow {b^2} = c \cdot AS\,\,\,(1)

Ας είναι M το μέσο του BC. Από τη δύναμη του σημείου S έχω:
το  τέταρτο τμήμα 3_a.png
το τέταρτο τμήμα 3_a.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
c \cdot BS = BD \cdot BE \Rightarrow c(AS - c) = 3{t^2} \Leftrightarrow c \cdot AS = 3{t^2} + {c^2}\,\,(2) αρκεί λοιπόν λόγω της (1)

Να δείξω : {b^2} - {c^2} = 3{t^2} \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = 2 \cdot 3t \cdot \dfrac{t}{2} \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = 2 \cdot BC \cdot DM

αληθές από το δεύτερο Θ. διαμέσων στο \vartriangle ABC.
το  τέταρτο τμήμα 3_b.png
το τέταρτο τμήμα 3_b.png (21.35 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
β) τώρα θα είναι ισοσκελές και το \vartriangle ABC\,\,(BA = BC = 3t), ενώ( πληροφοριακά) το \vartriangle AEC ορθογώνιο και λόγω της (2), BS = t\,\,,\,\boxed{\,AS = 4t}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1676
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Φεβ 19, 2019 1:40 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 9:18 pm
Το τέταρτο τμήμα.pngΤο ύψος AD χωρίζει τη βάση BC τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα με λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .

Στην προέκταση της CB , θεωρούμε σημείο E , ώστε BE=BC και γράφουμε

τον κύκλο (A , D , E  ) , τον οποίο η προέκταση της AB τέμνει στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι : \widehat{ACS}=\hat{B} ... β) Αν επιπλέον είναι CA=CS , υπολογίστε το τμήμα AS .

1.Έστω \displaystyle Z συμμετρικό του \displaystyle E ως προς \displaystyle S.Τότε \displaystyle BE = BZ = BC \Rightarrow CZ \bot EZ

Επειδή \displaystyle G είναι κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle EZC θα είναι \displaystyle \frac{{CG}}{{GS}} = \frac{{CD}}{{DB}} = 2 \Rightarrow DG//BS \Rightarrow DGZC ισοσκελές τραπέζιο.

Έτσι οι κόκκινες γωνίες θα είναι ίσες ,συνεπώς \displaystyle QCZS εγγράψιμο και μάλιστα ορθογώνιο.

\displaystyle \angle ACD = \angle BQZ = \angle SCZ \Rightarrow \angle \angle ACD + x = \angle SCZ + x \Rightarrow \boxed{\angle ACS = \angle BCZ = \angle B}

2.Αν τώρα \displaystyle AC = CS \Rightarrow \vartriangle ADC = \vartriangle CSZ \Rightarrow AD = SZ = SE \Rightarrow EADS ισοσκελές τραπέζιο\displaystyle  \Rightarrow \boxed{AS = ED = 4t}
το τέταρτο τμήμα.png
το τέταρτο τμήμα.png (25.83 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες