Το τέταρτο τμήμα 3

KARKAR · #1

: Το τέταρτο τμήμα.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Το ύψος

χωρίζει τη βάση

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

, ώστε

και γράφουμε

τον κύκλο (A , D , E )

, τον οποίο η προέκταση της

τέμνει στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι : $\widehat{ACS}=\hat{B}$ ... β) Αν επιπλέον είναι CA=CS

, υπολογίστε το τμήμα

.

Xriiiiistos · #2

Αρκεί

όμοια τρίτγωνα δηλαδή αρκεί $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AS}\Leftrightarrow AC^{2}=AB\cdot AC$
AB=b

άρα $cos\widehat{B}=\frac{t}{b}\kappa \alpha \iota AD^{2}=b^{2}-t^{2}\alpha \rho \alpha AC^{2}=b^{2}+3t^{2}$ ΌΠΟΥ $\widehat{B}$ η γωνία Β του αρχικού τριγώνου. Από το εγγράψιμο ADSE

παίρνουμε $\widehat{ADE}=\widehat{ASE}=90^{\circ}$
και επείσης έχουμε $\widehat{EBS}=\widehat{B}\Rightarrow cos\widehat{B}=\frac{BS}{EB}\Rightarrow BS=3\frac{t^{2}}{b}$ τώρα έχουμε $AB\cdot AS=b(\frac{3t^{2}}{b}+b)=3t^{2}+b^{2}=AC^{2}$ .

Για το β από την ομοιότητα των τριγώνων ABS,ASC

έχουμε $AB=BC\Leftrightarrow b=3t$ άρα $AS=AB+BS=\frac{3t^{2}}{b}+b=4t$

#3

α) Αρκεί να δείξω ότι $\vartriangle ABC \approx \vartriangle ACS \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AS}} \Leftrightarrow {b^2} = c \cdot AS\,\,\,(1)$

Ας είναι

το μέσο του

. Από τη δύναμη του σημείου

έχω:

: το τέταρτο τμήμα 3_a.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

$c \cdot BS = BD \cdot BE \Rightarrow c(AS - c) = 3{t^2} \Leftrightarrow c \cdot AS = 3{t^2} + {c^2}\,\,(2)$ αρκεί λοιπόν λόγω της (1)

Να δείξω : ${b^2} - {c^2} = 3{t^2} \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = 2 \cdot 3t \cdot \dfrac{t}{2} \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = 2 \cdot BC \cdot DM$

αληθές από το δεύτερο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ .

: το τέταρτο τμήμα 3_b.png (21.35 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

β) τώρα θα είναι ισοσκελές και το $\vartriangle ABC\,\,(BA = BC = 3t)$ , ενώ( πληροφοριακά) το $\vartriangle AEC$ ορθογώνιο και λόγω της (2)

, $BS = t\,\,,\,\boxed{\,AS = 4t}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 17, 2019 9:18 pm
Το τέταρτο τμήμα.pngΤο ύψος χωρίζει τη βάση τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

Στην προέκταση της , θεωρούμε σημείο , ώστε και γράφουμε

τον κύκλο , τον οποίο η προέκταση της τέμνει στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : $\widehat{ACS}=\hat{B}$ ... β) Αν επιπλέον είναι , υπολογίστε το τμήμα .

1.Έστω $\displaystyle Z$ συμμετρικό του $\displaystyle E$ ως προς $\displaystyle S$ .Τότε $\displaystyle BE = BZ = BC \Rightarrow CZ \bot EZ$

Επειδή $\displaystyle G$ είναι κ.βάρους του $\displaystyle \vartriangle EZC$ θα είναι $\displaystyle \frac{{CG}}{{GS}} = \frac{{CD}}{{DB}} = 2 \Rightarrow DG//BS \Rightarrow DGZC$ ισοσκελές τραπέζιο.

Έτσι οι κόκκινες γωνίες θα είναι ίσες ,συνεπώς $\displaystyle QCZS$ εγγράψιμο και μάλιστα ορθογώνιο.

$\displaystyle \angle ACD = \angle BQZ = \angle SCZ \Rightarrow \angle \angle ACD + x = \angle SCZ + x \Rightarrow \boxed{\angle ACS = \angle BCZ = \angle B}$

2.Αν τώρα $\displaystyle AC = CS \Rightarrow \vartriangle ADC = \vartriangle CSZ \Rightarrow AD = SZ = SE \Rightarrow EADS$ ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle \Rightarrow \boxed{AS = ED = 4t}$

: το τέταρτο τμήμα.png (25.83 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Το τέταρτο τμήμα 3

Το τέταρτο τμήμα 3

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

Μέλη σε σύνδεση